Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2$

Bài toán: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2$

Đề bài: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2$ là:

• A. $\frac{1}{3}x^3 + C$
• B. $2x^3 + C$
• C. $3x^3 + C$
• D. $\frac{1}{2}x^3 + C$

Phương pháp giải

Để tìm nguyên hàm của hàm số lũy thừa $f(x) = x^n$ (với $n \neq -1$), ta sử dụng công thức cơ bản trong bảng nguyên hàm:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa với $n = 2$, ta có:

$$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{1}{3}x^3 + C$$

Đối chiếu với các phương án lựa chọn, ta thấy kết quả trùng khớp với phương án A.

Đáp án: A.

Bài tập tương tự vận dụng

Dưới đây là 5 bài tập tương tự giúp các em học sinh nắm vững công thức nguyên hàm lũy thừa:

1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3$.
2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^2$.
3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^4 + 1$.
4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 – 2x$.
5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x+1)^2$.

Xem đáp án và lời giải

1. $\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C$.

2. $\int 6x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 2x^3 + C$.

3. $\int (x^4 + 1) dx = \frac{1}{5}x^5 + x + C$.

4. $\int (x^2 – 2x) dx = \frac{1}{3}x^3 – x^2 + C$.

5. Khai triển $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$. Khi đó $\int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C$.