Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x} dx$

Dạng toán: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ cơ bản

Trong chương trình Toán 12, tích phân hàm phân thức là một nội dung quan trọng. Với những bài toán mà tử số là đạo hàm của mẫu số, phương pháp giải nhanh nhất chính là sử dụng công thức nguyên hàm logarit hoặc phương pháp đổi biến số.

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta nhận thấy rằng đạo hàm của mẫu số $x^2 + x$ chính là $(2x + 1)$, đúng bằng biểu thức ở tử số. Do đó, ta áp dụng phương pháp đổi biến số như sau:

• Bước 1: Đặt $u = x^2 + x$.
• Bước 2: Tính vi phân $du = (2x + 1)dx$.
• Bước 3: Thực hiện đổi cận cho biến mới $u$.
• Bước 4: Thay thế các giá trị vào tích phân và tính toán dựa trên bảng nguyên hàm cơ bản.

Đề bài chi tiết

Tính giá trị của biểu thức tích phân sau: $I = \int_{1}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x} dx$.

Lời giải chi tiết

Đặt $u = x^2 + x$.

Suy ra vi phân: $du = (2x + 1)dx$.

Đổi cận:

• Khi $x = 1$, ta có $u = 1^2 + 1 = 2$.
• Khi $x = 2$, ta có $u = 2^2 + 2 = 6$.

Khi đó, tích phân ban đầu được viết lại theo biến $u$ như sau:

$I = \int_{2}^{6} \frac{1}{u} du$

$I = \ln|u| \Big|_{2}^{6}$

$I = \ln 6 – \ln 2$

$I = \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \ln 3$.

Kết luận: Giá trị của tích phân $I = \ln 3$.

---

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tương tự để các em củng cố kiến thức về tích phân cơ bản:

1. Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 1) dx$.
2. Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$.
3. Tính tích phân $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx$.
4. Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} e^{2x} dx$.
5. Tính tích phân $I = \int_{0}^{3} \frac{1}{x+1} dx$.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án chi tiết:

• Câu 1: $I = [x^4 + x^3 + x]_0^1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
• Câu 2: $I = [\ln|x|]_1^2 = \ln 2$.
• Câu 3: $I = [-\cos x]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) – (-\cos 0) = 0 + 1 = 1$.
• Câu 4: $I = [\frac{1}{2}e^{2x}]_0^1 = \frac{e^2 – 1}{2}$.
• Câu 5: $I = [\ln|x+1|]_0^3 = \ln 4 – \ln 1 = \ln 4 = 2\ln 2$.