De Thi online

Thẻ: Ôn thi THPT Quốc gia

  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn: Phương Pháp Giải Và Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

    Giới thiệu

    Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề trọng tâm của chương trình Đại số THPT. Nó xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra, đề thi học kỳ và thi tuyển sinh. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống hóa kiến thức, nắm vững các phương pháp giải và cung cấp nhiều bài tập thực hành có lời giải chi tiết.

    Định nghĩa và dạng tổng quát

    Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình bậc nhất mỗi ẩn. Dạng tổng quát:

    \\[ \\begin{cases} ax + by = c \\\\ a’x + b’y = c’ \\end{cases} \\]

    Trong đó, \\(a, b, c, a’, b’, c’\\) là các số thực; \\(x, y\\) là các ẩn số.

    Điều kiện về nghiệm

    • Một nghiệm duy nhất nếu \\(\\frac{a}{a’} \\neq \\frac{b}{b’}\\).
    • Vô nghiệm nếu \\(\\frac{a}{a’} = \\frac{b}{b’} \\neq \\frac{c}{c’}\\).
    • Vô số nghiệm nếu \\(\\frac{a}{a’} = \\frac{b}{b’} = \\frac{c}{c’}\\).

    Ví dụ: Hệ \\(\\begin{cases} x + y = 2 \\\\ 2x + 2y = 4 \\end{cases}\\) có vô số nghiệm.

    Các phương pháp giải

    1. Phương pháp thế

    Bước 1: Rút một ẩn từ một phương trình. Bước 2: Thế vào phương trình kia và giải.

    Ví dụ 1: Giải hệ \\(\\begin{cases} x + y = 5 \\\\ 2x – y = 1 \\end{cases}\\)

    Lời giải

    Rút \\(y = 5 – x\\). Thế vào phương trình thứ hai: \\(2x – (5 – x) = 1 \\Rightarrow 3x – 5 = 1 \\Rightarrow 3x = 6 \\Rightarrow x = 2\\). Suy ra \\(y = 3\\). Vậy nghiệm \\((2, 3)\\).

    2. Phương pháp cộng đại số

    Bước 1: Nhân các phương trình với hệ số phù hợp. Bước 2: Cộng hoặc trừ để khử ẩn.

    Ví dụ 2: Giải hệ \\(\\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\\\ x – 2y = -3 \\end{cases}\\)

    Lời giải

    Cộng hai phương trình: \\(4x = 4 \\Rightarrow x = 1\\). Thế vào phương trình thứ hai: \\(1 – 2y = -3 \\Rightarrow -2y = -4 \\Rightarrow y = 2\\).

    3. Phương pháp đồ thị

    Vẽ đồ thị hai đường thẳng. Giao điểm là nghiệm.

    Bài tập thực hành có lời giải

    Bài 1: Giải hệ

    \\(\\begin{cases} 4x + 3y = 10 \\\\ 2x – 5y = -8 \\end{cases}\\)

    Lời giải

    Nhân phương trình thứ hai với 2: \\(4x – 10y = -16\\). Trừ phương trình đầu: \\(13y = 26 \\Rightarrow y = 2\\). Thế \\(y = 2\\) vào phương trình đầu: \\(4x + 6 = 10 \\Rightarrow 4x = 4 \\Rightarrow x = 1\\). Vậy nghiệm \\((1, 2)\\).

    Bài 2: Hệ chứa tham số

    Cho hệ \\(\\begin{cases} mx + y = 3 \\\\ x + my = 3 \\end{cases}\\). Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

    Lời giải

    Điều kiện: \\(\\frac{m}{1} \\neq \\frac{1}{m} \\Rightarrow m^2 \\neq 1 \\Rightarrow m \\neq \\pm 1\\). Vậy với \\(m \\neq \\pm 1\\), hệ có nghiệm duy nhất.

    Bài 3: Bài toán tuổi tác

    Hiện nay, tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Sau 10 năm, tuổi cha gấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi hiện tại của cha và con.

    Lời giải

    Gọi tuổi cha hiện tại là \\(x\\), tuổi con hiện tại là \\(y\\). Ta có hệ:

    \\[ \\begin{cases} x = 3y \\\\ x + 10 = 2(y + 10) \\end{cases} \\]

    Thế \\(x = 3y\\) vào phương trình thứ hai: \\(3y + 10 = 2y + 20 \\Rightarrow y = 10\\). Suy ra \\(x = 30\\). Vậy hiện tại cha 30 tuổi, con 10 tuổi.

    Bài 4: Hệ tương đương

    Cho hệ \\(\\begin{cases} x + y = 3 \\\\ 2x + 2y = 6 \\end{cases}\\). Chứng tỏ hệ có vô số nghiệm và viết công thức nghiệm tổng quát.

    Lời giải

    Hai phương trình tương đương: \\(x + y = 3 \\Rightarrow y = 3 – x\\). Với \\(x \\in \\mathbb{R}\\), nghiệm là \\((x, 3 – x)\\).

    Bài 5: Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ

    \\(\\begin{cases} \\frac{1}{x} + \\frac{2}{y} = 3 \\\\ \\frac{3}{x} – \\frac{1}{y} = 2 \\end{cases}\\)

    Lời giải

    Đặt \\(u = \\frac{1}{x}, v = \\frac{1}{y}\\), ta có hệ:

    \\[ \\begin{cases} u + 2v = 3 \\\\ 3u – v = 2 \\end{cases} \\]

    Giải: Nhân phương trình thứ hai với 2: \\(6u – 2v = 4\\). Cộng với phương trình đầu: \\(7u = 7 \\Rightarrow u = 1\\). Suy ra \\(v = 1\\). Vậy \\(x = 1, y = 1\\).

    Bài 6: Bài toán thực tế (hóa học)

    Để điều chế một hợp chất, cần trộn hai dung dịch A và B có nồng độ 30% và 50% để được 100 lít dung dịch có nồng độ 42%. Hỏi cần bao nhiêu lít mỗi loại?

    Lời giải

    Gọi \\(x\\) lít dung dịch A, \\(y\\) lít dung dịch B. Ta có hệ:

    \\[ \\begin{cases} x + y = 100 \\\\ 0.3x + 0.5y = 42 \\end{cases} \\]

    Giải: \\(y = 100 – x\\). Thế vào: \\(0.3x + 0.5(100 – x) = 42 \\Rightarrow 0.3x + 50 – 0.5x = 42 \\Rightarrow -0.2x = -8 \\Rightarrow x = 40, y = 60\\).

    Những lưu ý quan trọng

    • Kiểm tra điều kiện của ẩn nếu có mẫu số hoặc căn thức.
    • Không nhầm lẫn giữa phương pháp thế và cộng đại số.
    • Khi hệ có tham số, xét kỹ trường hợp hệ số triệt tiêu.
    • Thử lại nghiệm để tránh sai sót.

    Kết luận

    Qua bài viết này, hy vọng bạn đã nắm vững lý thuyết và phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Để thành thạo, hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau. Chúc bạn học tốt!

  • Đề thi TN THPT 2026 Toán

    I. Trắc nghiệm đơn (MCQ)

    bài đọc ở đây?


    Xét mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai, tứ phân vị thứ ba lần lượt là ${{Q}_{1}}$, ${{Q}_{2}}$ và ${{Q}_{3}}$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

    Nghiệm của phương trình ${{\log }_{3}}\left(4x-7 \right)=2$ là
    Cho hàm số $y=\dfrac{2x-2}{x+2}$ có tập xác định là $D$. Hàm số đã cho có đạo hàm trên $D$ là
    Xét mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai bằng $9$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó bằng
    Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ Điểm cực đại của hàm số đã cho là
    Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{OM}=-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$. Toạ độ điểm $M$ là'

    II. Đúng – sai (MSQ)

    Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-2}{x-1}$ có đồ thị là đường cong $\left( C \right)$.

    III. Trả lời ngắn (SA)

    Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng $1$ và $SA\bot (ABC)$. Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh $SB,SC$ sao cho $SM=3MB$, $NC=2NS$. Biết rằng $AN$ vuông góc với $CM.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
    Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A,B,C$ biết $\overrightarrow{AB}\left( 3;-3;3 \right)$, $\overrightarrow{AC}\left( -3;3;-9 \right)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ thoả mãn $2BM=MC$. Gọi $\left( a;b;c \right)$ là toạ độ $\overrightarrow{AM}$. Tính $26a+b-2001c.$


  • Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x} dx$

    Dạng toán: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ cơ bản

    Trong chương trình Toán 12, tích phân hàm phân thức là một nội dung quan trọng. Với những bài toán mà tử số là đạo hàm của mẫu số, phương pháp giải nhanh nhất chính là sử dụng công thức nguyên hàm logarit hoặc phương pháp đổi biến số.

    Phương pháp giải

    Để giải quyết bài toán này, chúng ta nhận thấy rằng đạo hàm của mẫu số $x^2 + x$ chính là $(2x + 1)$, đúng bằng biểu thức ở tử số. Do đó, ta áp dụng phương pháp đổi biến số như sau:

    • Bước 1: Đặt $u = x^2 + x$.
    • Bước 2: Tính vi phân $du = (2x + 1)dx$.
    • Bước 3: Thực hiện đổi cận cho biến mới $u$.
    • Bước 4: Thay thế các giá trị vào tích phân và tính toán dựa trên bảng nguyên hàm cơ bản.

    Đề bài chi tiết

    Tính giá trị của biểu thức tích phân sau: $I = \int_{1}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x} dx$.

    Lời giải chi tiết

    Đặt $u = x^2 + x$.

    Suy ra vi phân: $du = (2x + 1)dx$.

    Đổi cận:

    • Khi $x = 1$, ta có $u = 1^2 + 1 = 2$.
    • Khi $x = 2$, ta có $u = 2^2 + 2 = 6$.

    Khi đó, tích phân ban đầu được viết lại theo biến $u$ như sau:

    $I = \int_{2}^{6} \frac{1}{u} du$

    $I = \ln|u| \Big|_{2}^{6}$

    $I = \ln 6 – \ln 2$

    $I = \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \ln 3$.

    Kết luận: Giá trị của tích phân $I = \ln 3$.

    Bài tập trắc nghiệm tự luyện

    Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tương tự để các em củng cố kiến thức về tích phân cơ bản:

    1. Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 1) dx$.
    2. Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$.
    3. Tính tích phân $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx$.
    4. Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} e^{2x} dx$.
    5. Tính tích phân $I = \int_{0}^{3} \frac{1}{x+1} dx$.
    Xem đáp án và lời giải

    Đáp án chi tiết:

    • Câu 1: $I = [x^4 + x^3 + x]_0^1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
    • Câu 2: $I = [\ln|x|]_1^2 = \ln 2$.
    • Câu 3: $I = [-\cos x]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) – (-\cos 0) = 0 + 1 = 1$.
    • Câu 4: $I = [\frac{1}{2}e^{2x}]_0^1 = \frac{e^2 – 1}{2}$.
    • Câu 5: $I = [\ln|x+1|]_0^3 = \ln 4 – \ln 1 = \ln 4 = 2\ln 2$.
  • Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

    Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

    1. Dạng toán và Phương pháp giải

    Bài toán thuộc dạng tích phân của hàm số có chứa tích của đa thức và hàm lượng giác. Để giải quyết dạng toán này, phương pháp tối ưu nhất là sử dụng Phương pháp tích phân từng phần.

    Công thức tích phân từng phần:

    $$\int_{a}^{b} u \, dv = [uv]_a^b – \int_{a}^{b} v \, du$$

    Thứ tự ưu tiên đặt $u$:

    Thông thường, ta ưu tiên đặt $u$ theo thứ tự: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (Logarit -> Đa thức -> Lượng giác -> Hàm mũ).

    2. Bài toán chi tiết

    Đề bài: Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$.

    Lời giải chi tiết:

    Đặt: $\begin{cases} u = x + 1 \\ dv = \sin x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = -\cos x \end{cases}$

    Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

    $I = [(x+1)(-\cos x)]_0^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx$

    $I = [-(x+1)\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

    Thay giới hạn vào biểu thức thứ nhất:

    $I = [ -(\frac{\pi}{2} + 1)\cos(\frac{\pi}{2}) – (-(0+1)\cos 0) ] + [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$

    Vì $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ và $\cos 0 = 1$, ta có:

    $I = [ 0 + 1 ] + [\sin(\frac{\pi}{2}) – \sin 0]$

    Vì $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ và $\sin 0 = 0$, ta có:

    $I = 1 + [1 – 0] = 2$

    Vậy: $I = 2$.

    3. Bài tập tương tự tự luyện

    Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em củng cố kiến thức về phương pháp tích phân từng phần:

    • Bài 1: Tính $I_1 = \int_{0}^{1} x e^x dx$
    • Bài 2: Tính $I_2 = \int_{0}^{\pi} x \cos x dx$
    • Bài 3: Tính $I_3 = \int_{1}^{e} x \ln x dx$
    • Bài 4: Tính $I_4 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2x-1) \sin 2x dx$
    • Bài 5: Tính $I_5 = \int_{0}^{1} (x+2) e^{2x} dx$
    Xem đáp án và lời giải

    Bài 1: $I_1 = 1$. (Đặt $u=x, dv=e^xdx$)

    Bài 2: $I_2 = -2$. (Đặt $u=x, dv=\cos xdx$)

    Bài 3: $I_3 = \frac{e^2+1}{4}$. (Đặt $u=\ln x, dv=xdx$)

    Bài 4: $I_4 = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. (Đặt $u=2x-1, dv=\sin 2xdx$)

    Bài 5: $I_5 = \frac{5e^2-3}{4}$. (Đặt $u=x+2, dv=e^{2x}dx$)