Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

1. Dạng toán và Phương pháp giải

Bài toán thuộc dạng tích phân của hàm số có chứa tích của đa thức và hàm lượng giác. Để giải quyết dạng toán này, phương pháp tối ưu nhất là sử dụng Phương pháp tích phân từng phần.

Công thức tích phân từng phần:

$$\int_{a}^{b} u \, dv = [uv]_a^b – \int_{a}^{b} v \, du$$

Thứ tự ưu tiên đặt $u$:

Thông thường, ta ưu tiên đặt $u$ theo thứ tự: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (Logarit -> Đa thức -> Lượng giác -> Hàm mũ).

2. Bài toán chi tiết

Đề bài: Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$.

Lời giải chi tiết:

Đặt: $\begin{cases} u = x + 1 \\ dv = \sin x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = -\cos x \end{cases}$

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

$I = [(x+1)(-\cos x)]_0^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx$

$I = [-(x+1)\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

Thay giới hạn vào biểu thức thứ nhất:

$I = [ -(\frac{\pi}{2} + 1)\cos(\frac{\pi}{2}) – (-(0+1)\cos 0) ] + [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$

Vì $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ và $\cos 0 = 1$, ta có:

$I = [ 0 + 1 ] + [\sin(\frac{\pi}{2}) – \sin 0]$

Vì $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ và $\sin 0 = 0$, ta có:

$I = 1 + [1 – 0] = 2$

Vậy: $I = 2$.

3. Bài tập tương tự tự luyện

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em củng cố kiến thức về phương pháp tích phân từng phần:

• Bài 1: Tính $I_1 = \int_{0}^{1} x e^x dx$
• Bài 2: Tính $I_2 = \int_{0}^{\pi} x \cos x dx$
• Bài 3: Tính $I_3 = \int_{1}^{e} x \ln x dx$
• Bài 4: Tính $I_4 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2x-1) \sin 2x dx$
• Bài 5: Tính $I_5 = \int_{0}^{1} (x+2) e^{2x} dx$

Xem đáp án và lời giải

Bài 1: $I_1 = 1$. (Đặt $u=x, dv=e^xdx$)

Bài 2: $I_2 = -2$. (Đặt $u=x, dv=\cos xdx$)

Bài 3: $I_3 = \frac{e^2+1}{4}$. (Đặt $u=\ln x, dv=xdx$)

Bài 4: $I_4 = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. (Đặt $u=2x-1, dv=\sin 2xdx$)

Bài 5: $I_5 = \frac{5e^2-3}{4}$. (Đặt $u=x+2, dv=e^{2x}dx$)