De Thi online

Thẻ: Giải tích 12

  • Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x} dx$

    Dạng toán: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ cơ bản

    Trong chương trình Toán 12, tích phân hàm phân thức là một nội dung quan trọng. Với những bài toán mà tử số là đạo hàm của mẫu số, phương pháp giải nhanh nhất chính là sử dụng công thức nguyên hàm logarit hoặc phương pháp đổi biến số.

    Phương pháp giải

    Để giải quyết bài toán này, chúng ta nhận thấy rằng đạo hàm của mẫu số $x^2 + x$ chính là $(2x + 1)$, đúng bằng biểu thức ở tử số. Do đó, ta áp dụng phương pháp đổi biến số như sau:

    • Bước 1: Đặt $u = x^2 + x$.
    • Bước 2: Tính vi phân $du = (2x + 1)dx$.
    • Bước 3: Thực hiện đổi cận cho biến mới $u$.
    • Bước 4: Thay thế các giá trị vào tích phân và tính toán dựa trên bảng nguyên hàm cơ bản.

    Đề bài chi tiết

    Tính giá trị của biểu thức tích phân sau: $I = \int_{1}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x} dx$.

    Lời giải chi tiết

    Đặt $u = x^2 + x$.

    Suy ra vi phân: $du = (2x + 1)dx$.

    Đổi cận:

    • Khi $x = 1$, ta có $u = 1^2 + 1 = 2$.
    • Khi $x = 2$, ta có $u = 2^2 + 2 = 6$.

    Khi đó, tích phân ban đầu được viết lại theo biến $u$ như sau:

    $I = \int_{2}^{6} \frac{1}{u} du$

    $I = \ln|u| \Big|_{2}^{6}$

    $I = \ln 6 – \ln 2$

    $I = \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \ln 3$.

    Kết luận: Giá trị của tích phân $I = \ln 3$.

    Bài tập trắc nghiệm tự luyện

    Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tương tự để các em củng cố kiến thức về tích phân cơ bản:

    1. Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} (4x^3 + 3x^2 + 1) dx$.
    2. Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$.
    3. Tính tích phân $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx$.
    4. Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} e^{2x} dx$.
    5. Tính tích phân $I = \int_{0}^{3} \frac{1}{x+1} dx$.
    Xem đáp án và lời giải

    Đáp án chi tiết:

    • Câu 1: $I = [x^4 + x^3 + x]_0^1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
    • Câu 2: $I = [\ln|x|]_1^2 = \ln 2$.
    • Câu 3: $I = [-\cos x]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) – (-\cos 0) = 0 + 1 = 1$.
    • Câu 4: $I = [\frac{1}{2}e^{2x}]_0^1 = \frac{e^2 – 1}{2}$.
    • Câu 5: $I = [\ln|x+1|]_0^3 = \ln 4 – \ln 1 = \ln 4 = 2\ln 2$.
  • Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

    Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

    1. Dạng toán và Phương pháp giải

    Bài toán thuộc dạng tích phân của hàm số có chứa tích của đa thức và hàm lượng giác. Để giải quyết dạng toán này, phương pháp tối ưu nhất là sử dụng Phương pháp tích phân từng phần.

    Công thức tích phân từng phần:

    $$\int_{a}^{b} u \, dv = [uv]_a^b – \int_{a}^{b} v \, du$$

    Thứ tự ưu tiên đặt $u$:

    Thông thường, ta ưu tiên đặt $u$ theo thứ tự: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (Logarit -> Đa thức -> Lượng giác -> Hàm mũ).

    2. Bài toán chi tiết

    Đề bài: Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$.

    Lời giải chi tiết:

    Đặt: $\begin{cases} u = x + 1 \\ dv = \sin x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = -\cos x \end{cases}$

    Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

    $I = [(x+1)(-\cos x)]_0^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx$

    $I = [-(x+1)\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

    Thay giới hạn vào biểu thức thứ nhất:

    $I = [ -(\frac{\pi}{2} + 1)\cos(\frac{\pi}{2}) – (-(0+1)\cos 0) ] + [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$

    Vì $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ và $\cos 0 = 1$, ta có:

    $I = [ 0 + 1 ] + [\sin(\frac{\pi}{2}) – \sin 0]$

    Vì $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ và $\sin 0 = 0$, ta có:

    $I = 1 + [1 – 0] = 2$

    Vậy: $I = 2$.

    3. Bài tập tương tự tự luyện

    Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em củng cố kiến thức về phương pháp tích phân từng phần:

    • Bài 1: Tính $I_1 = \int_{0}^{1} x e^x dx$
    • Bài 2: Tính $I_2 = \int_{0}^{\pi} x \cos x dx$
    • Bài 3: Tính $I_3 = \int_{1}^{e} x \ln x dx$
    • Bài 4: Tính $I_4 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2x-1) \sin 2x dx$
    • Bài 5: Tính $I_5 = \int_{0}^{1} (x+2) e^{2x} dx$
    Xem đáp án và lời giải

    Bài 1: $I_1 = 1$. (Đặt $u=x, dv=e^xdx$)

    Bài 2: $I_2 = -2$. (Đặt $u=x, dv=\cos xdx$)

    Bài 3: $I_3 = \frac{e^2+1}{4}$. (Đặt $u=\ln x, dv=xdx$)

    Bài 4: $I_4 = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. (Đặt $u=2x-1, dv=\sin 2xdx$)

    Bài 5: $I_5 = \frac{5e^2-3}{4}$. (Đặt $u=x+2, dv=e^{2x}dx$)