[Toán 12] Câu 1 (Trắc nghiệm): Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba y = x³

Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; +\infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(-\infty; 2)$

D. $(0; +\infty)$

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điểm làm cho đạo hàm bằng $0$

Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.

Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 2 \end{aligned}\right.$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm $y’$

Vì $y’ = 3x^2 – 6x$ là tam thức bậc hai có hệ số $a = 3 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 0, x_2 = 2$ nên theo quy tắc “trong trái ngoài cùng”:

Bước 4: Kết luận tính đơn điệu

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Đối chiếu với các phương án đề bài cho, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

👉 Chọn đáp án: A

Định lý về dấu của đạo hàm: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x) \ge 0, \forall x \in K$ (và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) \le 0, \forall x \in K$ (và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên $K$.
Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai $g(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$):
- Nếu $\Delta > 0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$: “Trong trái dấu với $a$, ngoài cùng dấu với $a$”.
- Nếu $\Delta \le 0$: Tam thức luôn cùng dấu với hệ số $a$ trên toàn $\mathbb{R}$ (trừ nghiệm kép nếu $\Delta = 0$).

Bài toán: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x – 1$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-\infty; -1)$

B. $(-1; 1)$

C. $(1; +\infty)$

D. $(-\infty; 1)$

👉 Xem đáp án & Lời giải bài tập tương tự

Ta có $y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1)$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Hệ số $a = -3 < 0$, áp dụng quy tắc "trong trái ngoài cùng": $y' > 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 1)$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$.

Đáp án đúng: B

Reader Interactions