Ứng dụng Đạo hàm Giải Bài toán Tối ưu Lợi nhuận Sản xuất

1. ĐỀ BÀI (TRÍCH DẪN TỪ HÌNH ẢNH)

Đề bài: Một nhà máy chế biến nông sản sản xuất phân bón hữu cơ dạng lỏng. Tổng chi phí sản xuất $x$ tấn: $$C(x) = \frac{1}{3}x^3 – 5x^2 + 30x + 10$$ (triệu đồng), với $0 \le x \le 12$. Giá bán ổn định là $14$ triệu đồng/tấn và sản xuất đến đâu bán hết đến đó. Nhà máy nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi ngày để hiệu quả kinh tế cao nhất?

2. DẠNG TOÁN & CHỦ ĐỀ

Dạng toán: Bài toán thực tế về tối ưu hóa lợi nhuận trong kinh tế.
Chủ đề: Ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn.
Kiến thức liên quan: Công thức tính Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí; Quy tắc xét dấu đạo hàm và phương pháp tìm GTLN trên đoạn $[a; b]$.

3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để giải bài toán tối ưu kinh tế dạng này, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xây dựng hàm doanh thu $R(x) = p \cdot x$ (với $p$ là đơn giá bán một đơn vị sản phẩm).
Bước 2: Thiết lập hàm lợi nhuận $P(x) = R(x) – C(x)$ trên miền xác định $x \in [a; b]$.
Bước 3: Tính đạo hàm $P'(x)$, giải phương trình $P'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị $x_i \in (a; b)$.
Bước 4: Tính giá trị của $P(x)$ tại các điểm $x_i$ và tại hai mút $x = a$, $x = b$. So sánh để tìm giá trị lớn nhất của $P(x)$.
Bước 5: Kết luận số lượng sản phẩm $x$ cần sản xuất để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất.

4. LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TOÁN GỐC

Gọi $x$ (tấn) là số lượng phân bón hữu cơ nhà máy sản xuất mỗi ngày ($0 \le x \le 12$).

Do giá bán là $14$ triệu đồng/tấn, doanh thu thu được khi bán $x$ tấn phân bón là:

$$R(x) = 14x \text{ (triệu đồng)}$$

Lợi nhuận thu được hằng ngày của nhà máy là:

$$P(x) = R(x) – C(x) = 14x – \left(\frac{1}{3}x^3 – 5x^2 + 30x + 10\right)$$

$$P(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 – 16x – 10 \quad \text{với } x \in [0; 12]$$

Xét hàm số $P(x)$ trên đoạn $[0; 12]$:

Tính đạo hàm:

$$P'(x) = -x^2 + 10x – 16$$

Cho $P'(x) = 0 \iff -x^2 + 10x – 16 = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 2 \in [0; 12] \\ x = 8 \in [0; 12] \end{bmatrix}$$

Tính giá trị của $P(x)$ tại các điểm $x = 0, x = 2, x = 8, x = 12$:

$P(0) = -10$
$P(2) = -\frac{1}{3}(2)^3 + 5(2)^2 – 16(2) – 10 = -\frac{74}{3} \approx -24{,}67$
$P(8) = -\frac{1}{3}(8)^3 + 5(8)^2 – 16(8) – 10 = \frac{34}{3} \approx 11{,}33$
$P(12) = -\frac{1}{3}(12)^3 + 5(12)^2 – 16(12) – 10 = -58$

So sánh các giá trị trên, ta thấy $\max_{[0; 12]} P(x) = P(8) = \frac{34}{3}$ triệu đồng.

Kết luận: Nhà máy nên sản xuất $8$ tấn phân bón mỗi ngày để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất (lợi nhuận cao nhất đạt khoảng $11{,}33$ triệu đồng/ngày).

5. 5 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1

Đề bài: Một xưởng sản xuất thiết bị điện tử có tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm trong một ngày là $C(x) = x^3 – 6x^2 + 25x + 10$ (triệu đồng), với $0 \le x \le 8$. Mỗi sản phẩm bán ra với giá $40$ triệu đồng. Hỏi xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi ngày để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Xem lời giải chi tiết Bài 1

Doanh thu khi bán $x$ sản phẩm là: $R(x) = 40x$ (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận: $$P(x) = R(x) – C(x) = 40x – (x^3 – 6x^2 + 25x + 10) = -x^3 + 6x^2 + 15x – 10$$ trên đoạn $[0; 8]$.

Đạo hàm: $P'(x) = -3x^2 + 12x + 15$.

Cho $P'(x) = 0 \iff -3(x^2 – 4x – 5) = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 5 \in [0; 8] \\ x = -1 \notin [0; 8] \end{bmatrix}$

Tính các giá trị:

$P(0) = -10$
$P(5) = -(5)^3 + 6(5)^2 + 15(5) – 10 = 90$
$P(8) = -(8)^3 + 6(8)^2 + 15(8) – 10 = -18$

Giá trị lớn nhất của $P(x)$ đạt tại $x = 5$. Vậy xưởng nên sản xuất $5$ sản phẩm mỗi ngày.

Bài 2

Đề bài: Một công ty hóa chất sản xuất chất tẩy rửa gia dụng. Tổng chi phí sản xuất $x$ tấn sản phẩm mỗi tuần được tính bởi công thức $C(x) = \frac{1}{3}x^3 – 4x^2 + 27x + 10$ (triệu đồng) với $0 \le x \le 9$. Sản phẩm được bán với giá $20$ triệu đồng/tấn. Tìm sản lượng $x$ mỗi tuần sao cho công ty thu được lợi nhuận cao nhất.

Xem lời giải chi tiết Bài 2

Doanh thu thu được: $R(x) = 20x$ (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận: $$P(x) = 20x – \left(\frac{1}{3}x^3 – 4x^2 + 27x + 10\right) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 – 7x – 10$$ trên đoạn $[0; 9]$.

Đạo hàm: $P'(x) = -x^2 + 8x – 7$.

Cho $P'(x) = 0 \iff -x^2 + 8x – 7 = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 1 \in [0; 9] \\ x = 7 \in [0; 9] \end{bmatrix}$

Tính giá trị tại các điểm:

$P(0) = -10$
$P(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 + 4(1)^2 – 7(1) – 10 = -\frac{40}{3} \approx -13{,}33$
$P(7) = -\frac{1}{3}(7)^3 + 4(7)^2 – 7(7) – 10 = \frac{68}{3} \approx 22{,}67$
$P(9) = -\frac{1}{3}(9)^3 + 4(9)^2 – 7(9) – 10 = 8$

Do đó $\max P(x) = P(7) = \frac{68}{3}$. Công ty nên sản xuất $7$ tấn sản phẩm mỗi tuần.

Bài 3

Đề bài: Một cơ sở chế biến đồ gỗ sản xuất ghế văn phòng. Chi phí sản xuất $x$ chiếc ghế là $C(x) = x^2 + 10x + 50$ (nghìn đồng). Giá bán của mỗi chiếc ghế phụ thuộc vào số lượng sản xuất theo công thức $p(x) = 100 – 2x$ (nghìn đồng/chiếc), với $0 \le x \le 25$. Hãy xác định số ghế cần sản xuất để cơ sở đạt lợi nhuận tối đa.

Xem lời giải chi tiết Bài 3

Doanh thu từ việc bán $x$ chiếc ghế: $$R(x) = x \cdot p(x) = x(100 – 2x) = 100x – 2x^2 \text{ (nghìn đồng)}$$

Hàm lợi nhuận: $$P(x) = R(x) – C(x) = (100x – 2x^2) – (x^2 + 10x + 50) = -3x^2 + 90x – 50$$ trên đoạn $[0; 25]$.

Đạo hàm: $P'(x) = -6x + 90$.

Cho $P'(x) = 0 \iff -6x + 90 = 0 \iff x = 15 \in [0; 25]$.

Tính giá trị:

$P(0) = -50$
$P(15) = -3(15)^2 + 90(15) – 50 = 625$
$P(25) = -3(25)^2 + 90(25) – 50 = 325$

Lợi nhuận cao nhất là $625$ nghìn đồng khi sản xuất $15$ chiếc ghế.

Bài 4

Đề bài: Một doanh nghiệp dệt may sản xuất khẩu trang vải kháng khuẩn. Chi phí sản xuất $x$ nghìn thùng khẩu trang là $C(x) = \frac{1}{3}x^3 – 6x^2 + 50x + 15$ (triệu đồng), với $0 \le x \le 14$. Doanh nghiệp bán mỗi nghìn thùng khẩu trang với giá $30$ triệu đồng. Tìm số lượng khẩu trang cần sản xuất để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải chi tiết Bài 4

Doanh thu: $R(x) = 30x$ (triệu đồng).

Hàm lợi nhuận: $$P(x) = 30x – \left(\frac{1}{3}x^3 – 6x^2 + 50x + 15\right) = -\frac{1}{3}x^3 + 6x^2 – 20x – 15$$ trên $[0; 14]$.

Đạo hàm: $P'(x) = -x^2 + 12x – 20$.

Cho $P'(x) = 0 \iff -x^2 + 12x – 20 = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 2 \in [0; 14] \\ x = 10 \in [0; 14] \end{bmatrix}$

Tính giá trị:

$P(0) = -15$
$P(2) = -\frac{1}{3}(8) + 6(4) – 20(2) – 15 = -\frac{98}{3} \approx -32{,}67$
$P(10) = -\frac{1}{3}(1000) + 6(100) – 20(10) – 15 = \frac{155}{3} \approx 51{,}67$
$P(14) = -\frac{1}{3}(2744) + 6(196) – 20(14) – 15 = -35{,}67$

Vậy lợi nhuận lớn nhất đạt được khi sản xuất $10$ nghìn thùng khẩu trang.

Bài 5

Đề bài: Một trang trại chăn nuôi gia súc quy mô lớn xác định tổng chi phí sản xuất $x$ tấn thịt thương phẩm mỗi tháng là $C(x) = \frac{1}{3}x^3 – 6x^2 + 57x + 40$ (triệu đồng) với $0 \le x \le 12$. Giá bán thị trường là $30$ triệu đồng/tấn. Hỏi trang trại nên xuất bán bao nhiêu tấn thịt mỗi tháng để tối đa hóa lợi nhuận?

Xem lời giải chi tiết Bài 5

Doanh thu thu được: $R(x) = 30x$ (triệu đồng).

Lợi nhuận hằng tháng: $$P(x) = 30x – \left(\frac{1}{3}x^3 – 6x^2 + 57x + 40\right) = -\frac{1}{3}x^3 + 6x^2 – 27x – 40$$ trên $[0; 12]$.

Đạo hàm: $P'(x) = -x^2 + 12x – 27$.

Cho $P'(x) = 0 \iff -x^2 + 12x – 27 = 0 \iff \begin{bmatrix} x = 3 \in [0; 12] \\ x = 9 \in [0; 12] \end{bmatrix}$

Tính các giá trị tại các điểm đáng chú ý:

$P(0) = -40$
$P(3) = -\frac{1}{3}(27) + 6(9) – 27(3) – 40 = -76$
$P(9) = -\frac{1}{3}(729) + 6(81) – 27(9) – 40 = -13$
$P(12) = -\frac{1}{3}(1728) + 6(144) – 27(12) – 40 = -76$

So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của lợi nhuận đạt tại $x = 9$ (với mức thua lỗ nhỏ nhất / lợi nhuận tối đa trong phạm vi điều kiện bài toán là $-13$ triệu đồng). Vậy trang trại nên sản xuất $9$ tấn thịt mỗi tháng.