Định nghĩa
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:
$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$
trong đó $x, y$ là ẩn, $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ là các số thực cho trước (với $a_1^2+b_1^2 \neq 0$ và $a_2^2+b_2^2 \neq 0$).
Công thức
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ có vô số nghiệm, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Với hệ $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, ta xét các định thức:
- Nếu $D \neq 0$ thì hệ có nghiệm duy nhất $\begin{cases} x = \dfrac{D_x}{D} \\ y = \dfrac{D_y}{D} \end{cases}$.
- Nếu $D = 0$ và $D_x \neq 0$ hoặc $D_y \neq 0$ thì hệ vô nghiệm.
- Nếu $D = D_x = D_y = 0$ thì hệ có vô số nghiệm (hai đường thẳng trùng nhau).
Phương pháp giải
1. Phương pháp thế
Rút một ẩn từ một phương trình (theo ẩn kia) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình đó, tìm được một ẩn rồi suy ra ẩn còn lại.
2. Phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó đối nhau (hoặc bằng nhau). Cộng (hoặc trừ) hai phương trình theo vế để triệt tiêu ẩn đó, được phương trình một ẩn. Giải tìm ẩn, rồi thay vào một trong hai phương trình để tìm ẩn còn lại.
3. Phương pháp đồ thị
Vẽ hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tọa độ giao điểm (nếu có) là nghiệm của hệ.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x – y = 1 \end{cases}$
Giải:
Dùng phương pháp cộng đại số: Cộng hai phương trình theo vế, ta được:
$(x+y)+(x-y)=3+1 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$.
Thay $x=2$ vào $x+y=3$: $2+y=3 \Rightarrow y=1$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$.
Ví dụ 2
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x – y = 4 \\ 3x + 2y = 13 \end{cases}$
Giải:
Rút $y$ từ phương trình thứ nhất: $y = 2x – 4$.
Thế vào phương trình thứ hai: $3x + 2(2x-4) = 13 \Rightarrow 3x + 4x – 8 = 13 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3$.
Thay $x=3$ vào $y=2x-4$: $y=2.3-4=2$.
Vậy nghiệm của hệ là $(3;2)$.
Ví dụ 3
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 6x + 4y = 10 \end{cases}$
Giải:
Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $2$ ta được $6x+4y=10$, trùng với phương trình thứ hai.
Vậy hai phương trình tương đương, hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát được biểu diễn bởi một phương trình $3x+2y=5$.
Chẳng hạn, $x = t$ (với $t \in \mathbb{R}$), suy ra $y = \dfrac{5-3t}{2}$.
Vậy hệ có vô số nghiệm $(t;\dfrac{5-3t}{2})$ với $t$ tùy ý.
Ví dụ 4
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x – 2y = 3 \\ -2x + 4y = 1 \end{cases}$
Giải:
Nhân phương trình thứ nhất với $2$: $2x – 4y = 6$. Cộng với phương trình thứ hai: $(2x-4y)+(-2x+4y)=6+1 \Rightarrow 0=7$ (vô lí).
Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ 5
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{3}{x-1} + \dfrac{2}{y} = 4 \\ \dfrac{1}{x-1} – \dfrac{3}{y} = 5 \end{cases}$ (với $x \neq 1$, $y \neq 0$)
Giải:
Đặt $u = \dfrac{1}{x-1}$, $v = \dfrac{1}{y}$ (điều kiện $x \neq 1$, $y \neq 0$). Hệ trở thành:
$\begin{cases} 3u + 2v = 4 \\ u – 3v = 5 \end{cases}$
Giải hệ này: từ $u – 3v = 5 \Rightarrow u = 5 + 3v$. Thế vào $3(5+3v)+2v=4 \Rightarrow 15+9v+2v=4 \Rightarrow 11v=-11 \Rightarrow v=-1$. Suy ra $u=5+3(-1)=2$.
Với $u=2 \Rightarrow \dfrac{1}{x-1}=2 \Rightarrow x-1=\dfrac12 \Rightarrow x=\dfrac32$ (thỏa mãn).
Với $v=-1 \Rightarrow \dfrac{1}{y}=-1 \Rightarrow y=-1$ (thỏa mãn).
Vậy hệ có nghiệm $\left(\dfrac32;-1\right)$.
Kết luận / Chú ý
- Khi giải hệ, cần chọn phương pháp phù hợp (thế, cộng đại số, đồ thị) tùy theo dạng bài.
- Nếu hệ có chứa ẩn ở mẫu, phải đặt điều kiện xác định trước khi giải.
- Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo mối quan hệ giữa các hệ số.
- Để kiểm tra nhanh tính có nghiệm, có thể dùng công thức định thức (Cramer) hoặc xét tỉ lệ $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}, \dfrac{c_1}{c_2}$.
Bài tập về nhà
Giải các hệ phương trình sau:
- $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x – 2y = -3 \end{cases}$
- $\begin{cases} 3x – y = 7 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases}$
- $\begin{cases} 4x + 5y = 9 \\ 8x + 10y = 18 \end{cases}$
- $\begin{cases} 5x – 4y = 2 \\ -10x + 8y = 3 \end{cases}$
- $\begin{cases} \dfrac{x}{2} – \dfrac{y}{3} = 1 \\ 2x – 3y = 6 \end{cases}$
- $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x – y = -6 \end{cases}$
- $\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \\ \dfrac{4}{x} – \dfrac{3}{y} = 1 \end{cases}$ (với $x \neq 0, y \neq 0$)
- $\begin{cases} \sqrt{2}x + y = 3 \\ x – \sqrt{2}y = 2\sqrt{2} \end{cases}$
- $\begin{cases} (m+1)x – y = m+1 \\ x + (m-1)y = 2 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x+y$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- $\begin{cases} x + 2y = m \\ 2x + 4y = 2m+1 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hệ vô nghiệm.
💡Lời giải - Đáp án▶
1. $x=1;y=2$
2. $x=3;y=2$
3. Vô số nghiệm (ví dụ $x=t, y=\dfrac{9-4t}{5}$)
4. Vô nghiệm
5. $x\in\mathbb{R}; y=\dfrac{2x-6}{3}$ (vô số nghiệm)
6. $x=-1;y=3$
7. $x=\frac{2}{5}; y=2$
8. $x=\sqrt{2}; y=1$
9. Hệ có nghiệm duy nhất khi $m\neq0$. Nghiệm $x=\frac{m+1}{m}, y=\frac{1}{m}$. Khi đó $x+y=\frac{m+1}{m}+\frac{1}{m}=\frac{m+2}{m}=1+\frac{2}{m}$. Xét $m>0$ hoặc $m<0$ để tìm GTNN, tùy thuộc yêu cầu cụ thể. Kết luận: không có $m$ để $x+y$ đạt GTNN trên $\mathbb{R}$ (vì $m\to -\infty$ thì $x+y\to 1$, nhưng không tồn tại min). Nếu xét $m>0$ thì GTNN là $1+\frac{2}{m}$ giảm khi $m$ tăng, không có GTNN (chỉ có cận dưới là 1 khi $m\to +\infty$). Nếu xét $m<0$ thì tương tự. Bài này cần bổ sung điều kiện $m$ cụ thể.
10. Hệ $\begin{cases} x+2y=m \\ 2x+4y=2m+1 \end{cases}$. Nhân phương trình đầu với 2: $2x+4y=2m$. So với phương trình sau: $2m=2m+1 \Rightarrow 0=1$, vô lí với mọi $m$. Vậy hệ luôn vô nghiệm với mọi $m$. (Không có $m$ nào để hệ có nghiệm). Tuy nhiên nếu yêu cầu vô nghiệm thì $m$ bất kì đều thỏa mãn.