De Thi online

Thẻ: hệ phương trình

  • Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

    Định nghĩa

    Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:
    $$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$
    trong đó $x, y$ là ẩn, $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ là các số thực cho trước (với $a_1^2+b_1^2 \neq 0$ và $a_2^2+b_2^2 \neq 0$).

    Công thức

    Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ có vô số nghiệm, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng đó.

    Với hệ $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, ta xét các định thức:

    $$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 – a_2b_1$$
    $$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 – c_2b_1$$
    $$D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 – a_2c_1$$
    • Nếu $D \neq 0$ thì hệ có nghiệm duy nhất $\begin{cases} x = \dfrac{D_x}{D} \\ y = \dfrac{D_y}{D} \end{cases}$.
    • Nếu $D = 0$ và $D_x \neq 0$ hoặc $D_y \neq 0$ thì hệ vô nghiệm.
    • Nếu $D = D_x = D_y = 0$ thì hệ có vô số nghiệm (hai đường thẳng trùng nhau).

    Phương pháp giải

    1. Phương pháp thế

    Rút một ẩn từ một phương trình (theo ẩn kia) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình đó, tìm được một ẩn rồi suy ra ẩn còn lại.

    2. Phương pháp cộng đại số

    Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó đối nhau (hoặc bằng nhau). Cộng (hoặc trừ) hai phương trình theo vế để triệt tiêu ẩn đó, được phương trình một ẩn. Giải tìm ẩn, rồi thay vào một trong hai phương trình để tìm ẩn còn lại.

    3. Phương pháp đồ thị

    Vẽ hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tọa độ giao điểm (nếu có) là nghiệm của hệ.

    Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1

    Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x – y = 1 \end{cases}$

    Giải:

    Dùng phương pháp cộng đại số: Cộng hai phương trình theo vế, ta được:

    $(x+y)+(x-y)=3+1 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$.

    Thay $x=2$ vào $x+y=3$: $2+y=3 \Rightarrow y=1$.

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;1)$.

    Ví dụ 2

    Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x – y = 4 \\ 3x + 2y = 13 \end{cases}$

    Giải:

    Rút $y$ từ phương trình thứ nhất: $y = 2x – 4$.

    Thế vào phương trình thứ hai: $3x + 2(2x-4) = 13 \Rightarrow 3x + 4x – 8 = 13 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3$.

    Thay $x=3$ vào $y=2x-4$: $y=2.3-4=2$.

    Vậy nghiệm của hệ là $(3;2)$.

    Ví dụ 3

    Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ 6x + 4y = 10 \end{cases}$

    Giải:

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $2$ ta được $6x+4y=10$, trùng với phương trình thứ hai.

    Vậy hai phương trình tương đương, hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát được biểu diễn bởi một phương trình $3x+2y=5$.

    Chẳng hạn, $x = t$ (với $t \in \mathbb{R}$), suy ra $y = \dfrac{5-3t}{2}$.

    Vậy hệ có vô số nghiệm $(t;\dfrac{5-3t}{2})$ với $t$ tùy ý.

    Ví dụ 4

    Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x – 2y = 3 \\ -2x + 4y = 1 \end{cases}$

    Giải:

    Nhân phương trình thứ nhất với $2$: $2x – 4y = 6$. Cộng với phương trình thứ hai: $(2x-4y)+(-2x+4y)=6+1 \Rightarrow 0=7$ (vô lí).

    Vậy hệ vô nghiệm.

    Ví dụ 5

    Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{3}{x-1} + \dfrac{2}{y} = 4 \\ \dfrac{1}{x-1} – \dfrac{3}{y} = 5 \end{cases}$ (với $x \neq 1$, $y \neq 0$)

    Giải:

    Đặt $u = \dfrac{1}{x-1}$, $v = \dfrac{1}{y}$ (điều kiện $x \neq 1$, $y \neq 0$). Hệ trở thành:

    $\begin{cases} 3u + 2v = 4 \\ u – 3v = 5 \end{cases}$

    Giải hệ này: từ $u – 3v = 5 \Rightarrow u = 5 + 3v$. Thế vào $3(5+3v)+2v=4 \Rightarrow 15+9v+2v=4 \Rightarrow 11v=-11 \Rightarrow v=-1$. Suy ra $u=5+3(-1)=2$.

    Với $u=2 \Rightarrow \dfrac{1}{x-1}=2 \Rightarrow x-1=\dfrac12 \Rightarrow x=\dfrac32$ (thỏa mãn).

    Với $v=-1 \Rightarrow \dfrac{1}{y}=-1 \Rightarrow y=-1$ (thỏa mãn).

    Vậy hệ có nghiệm $\left(\dfrac32;-1\right)$.

    Kết luận / Chú ý

    • Khi giải hệ, cần chọn phương pháp phù hợp (thế, cộng đại số, đồ thị) tùy theo dạng bài.
    • Nếu hệ có chứa ẩn ở mẫu, phải đặt điều kiện xác định trước khi giải.
    • Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo mối quan hệ giữa các hệ số.
    • Để kiểm tra nhanh tính có nghiệm, có thể dùng công thức định thức (Cramer) hoặc xét tỉ lệ $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}, \dfrac{c_1}{c_2}$.

    Bài tập về nhà

    Giải các hệ phương trình sau:

    1. $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x – 2y = -3 \end{cases}$
    2. $\begin{cases} 3x – y = 7 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases}$
    3. $\begin{cases} 4x + 5y = 9 \\ 8x + 10y = 18 \end{cases}$
    4. $\begin{cases} 5x – 4y = 2 \\ -10x + 8y = 3 \end{cases}$
    5. $\begin{cases} \dfrac{x}{2} – \dfrac{y}{3} = 1 \\ 2x – 3y = 6 \end{cases}$
    6. $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x – y = -6 \end{cases}$
    7. $\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \\ \dfrac{4}{x} – \dfrac{3}{y} = 1 \end{cases}$ (với $x \neq 0, y \neq 0$)
    8. $\begin{cases} \sqrt{2}x + y = 3 \\ x – \sqrt{2}y = 2\sqrt{2} \end{cases}$
    9. $\begin{cases} (m+1)x – y = m+1 \\ x + (m-1)y = 2 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x+y$ đạt giá trị nhỏ nhất.
    10. $\begin{cases} x + 2y = m \\ 2x + 4y = 2m+1 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hệ vô nghiệm.

    [loigiai]1. $x=1;y=2$
    2. $x=3;y=2$
    3. Vô số nghiệm (ví dụ $x=t, y=\dfrac{9-4t}{5}$)
    4. Vô nghiệm
    5. $x\in\mathbb{R}; y=\dfrac{2x-6}{3}$ (vô số nghiệm)
    6. $x=-1;y=3$
    7. $x=\frac{2}{5}; y=2$
    8. $x=\sqrt{2}; y=1$
    9. Hệ có nghiệm duy nhất khi $m\neq0$. Nghiệm $x=\frac{m+1}{m}, y=\frac{1}{m}$. Khi đó $x+y=\frac{m+1}{m}+\frac{1}{m}=\frac{m+2}{m}=1+\frac{2}{m}$. Xét $m>0$ hoặc $m<0$ để tìm GTNN, tùy thuộc yêu cầu cụ thể. Kết luận: không có $m$ để $x+y$ đạt GTNN trên $\mathbb{R}$ (vì $m\to -\infty$ thì $x+y\to 1$, nhưng không tồn tại min). Nếu xét $m>0$ thì GTNN là $1+\frac{2}{m}$ giảm khi $m$ tăng, không có GTNN (chỉ có cận dưới là 1 khi $m\to +\infty$). Nếu xét $m<0$ thì tương tự. Bài này cần bổ sung điều kiện $m$ cụ thể.
    10. Hệ $\begin{cases} x+2y=m \\ 2x+4y=2m+1 \end{cases}$. Nhân phương trình đầu với 2: $2x+4y=2m$. So với phương trình sau: $2m=2m+1 \Rightarrow 0=1$, vô lí với mọi $m$. Vậy hệ luôn vô nghiệm với mọi $m$. (Không có $m$ nào để hệ có nghiệm). Tuy nhiên nếu yêu cầu vô nghiệm thì $m$ bất kì đều thỏa mãn.[/loigiai]

  • Bí quyết giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn – Tổng hợp đề thi, bài tập và lời giải chi tiết

    Bí quyết giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn – Tổng hợp đề thi, bài tập và lời giải chi tiết

    Giới thiệu tổng quan về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

    Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn (hay còn gọi là hệ linear gồm hai ẩn) là một trong những nội dung cơ bản nhưng quan trọng nhất trong chương trình Toán cấp THPT. Nắm vững cách giải, khả năng phân loại và áp dụng các phương pháp khác nhau (phương pháp thế, cộng đại số, ma trận, định thức) không chỉ giúp học sinh chinh phục các đề thi đại học mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng suy luận.

    Bài viết dưới đây sẽ:

    • Khảo sát các dạng đề thi phổ biến liên quan tới “hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn” từ các kỳ thi THPT quốc gia, các kỳ thi chuyên và các đề luyện tập nổi tiếng.
    • Phân tích sâu từng dạng, đưa ra các chiến lược giải quyết tối ưu.
    • Đề xuất 10 đề bài mới, tương tự nhưng vẫn giữ độ khó vừa phải đến cao, kèm theo lời giải chi tiết từng bước.
    • Trình bày toàn bộ quá trình giải bằng công thức LaTeX, giúp học sinh dễ dàng sao chép vào sổ tay.

    1. Các dạng đề thi thường gặp

    Dưới đây là một số mẫu đề thi thực tế mà giáo viên và học sinh thường gặp. Mỗi mẫu sẽ được mô tả ngắn gọn, sau đó chúng ta sẽ rút ra các điểm chung về cách tiếp cận.

    Ví dụ 1: Đề thi THPT Quốc gia (2022) – Phần Toán học

    Đề bài: Giải hệ phương trình:
    \[ \begin{cases} 3x + 4y = 25 \\ 5x – 2y = 7 \end{cases} \]

    Đây là dạng hệ đồng nhất (có nghiệm duy nhất)

    Ví dụ 2: Đề thi chuyên Toán (2021) – Phần Đề 1

    Đề bài: Tìm các giá trị của tham số \(k\) sao cho hệ
    \[ \begin{cases} kx + y = 2 \\ x + ky = 3 \end{cases} \]
    có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

    Ví dụ 3: Đề luyện tập – Sách “Bài tập Toán THPT” (tập 4)

    Đề bài: Giải hệ
    \[ \begin{cases} x – 2y = 5 \\ 4x + ay = b \end{cases} \]
    với \(a, b\) là các số thực cho trước, yêu cầu tìm mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\) để hệ có vô số nghiệm.

    2. Phân loại hệ và chiến lược giải

    Một hệ phương trình có thể thuộc một trong ba trường hợp:

    • Hệ có nghiệm duy nhất – Định thức \(\Delta = a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0\). Phương pháp: cộng đại số hoặc ma trận Cramer.
    • Hệ vô nghiệm – \(\Delta = 0\) nhưng các hệ số tự do không thỏa mãn tỉ lệ (\(\frac{c_1}{a_1} \neq \frac{c_2}{a_2}\)).
    • Hệ vô số nghiệm – \(\Delta = 0\) và \(\frac{c_1}{a_1} = \frac{c_2}{a_2}\). Khi đó các phương trình thực chất là đồng nhất.

    Với hệ 2 ẩn, ta thường dùng một trong ba phương pháp sau:

    2.1. Phương pháp thế (Substitution)

    Thích hợp khi một trong hai phương trình đã sẵn sàng để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Bước thực hiện:

    1. Biến đổi một phương trình thành dạng \(x = \alpha y + \beta\) hoặc \(y = \alpha x + \beta\).
    2. Thế biểu thức này vào phương trình còn lại, giải được ẩn còn lại.
    3. Thế lại để tìm ẩn đầu tiên.

    2.2. Phương pháp cộng đại số (Elimination)

    Thường dùng khi các hệ số có thể nhân với nhau để “trừ” một ẩn. Quy trình:

    1. Nhân một hoặc cả hai phương trình sao cho hệ số của một ẩn trở nên bằng nhau (có dấu đối lập).
    2. Cộng hoặc trừ hai phương trình lại, loại bỏ ẩn đó.
    3. Giải phương trình còn lại, sau đó thế ngược lại.

    2.3. Phương pháp ma trận Cramer

    Áp dụng khi học sinh đã học ma trận. Định thức:
    \[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 – a_2b_1\]
    Nếu \(\Delta \neq 0\), nghiệm là:
    \[x = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\Delta},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\Delta}\]

    3. 10 đề bài mới – Tương tự nhưng phong phú

    Dưới đây là 10 đề bài được thiết kế dựa trên các mẫu thực tế, mỗi đề kèm lời giải chi tiết từng bước. Các đề bao gồm cả dạng có tham số, dạng đòi hỏi phân tích điều kiện, và dạng thực tế (ứng dụng).

    Đề 1: Hệ cơ bản – nghiệm duy nhất

    Bài toán: Giải hệ
    \[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x – y = 5 \end{cases} \]

    Lời giải (phương pháp cộng đại số):

    1. Nhân phương trình thứ hai với 3: \(12x – 3y = 15\).
    2. Cộng với phương trình thứ nhất: \((2x+12x) + (3y-3y) = 13+15\) ⇒ \(14x = 28\) ⇒ \(x = 2\).
    3. Thế \(x=2\) vào \(2x+3y=13\): \(4+3y=13\) ⇒ \(3y=9\) ⇒ \(y=3\).

    Vậy nghiệm duy nhất là \((x,y) = (2,3)\).

    Đề 2: Hệ có tham số – xác định điều kiện

    Bài toán: Tìm tất cả các giá trị của \(k\) sao cho hệ
    \[ \begin{cases} kx + 2y = 7 \\ 4x + ky = 8 \end{cases} \]
    có vô số nghiệm.

    Lời giải:

    1. Viết định thức \(\Delta = k\cdot k – 4\cdot 2 = k^2 – 8\).
    2. Để vô số nghiệm, cần \(\Delta = 0\) và \(\frac{7}{k} = \frac{8}{4}\) (tỷ lệ hằng số). Từ \(\Delta=0\): \(k^2=8\) ⇒ \(k=\pm 2\sqrt{2}\).
    3. Kiểm tra tỷ lệ: \(\frac{7}{k} \stackrel{?}{=} \frac{8}{4}=2\). Với \(k=2\sqrt{2}\), \(\frac{7}{2\sqrt{2}} \approx 2.474 \neq 2\); với \(k=-2\sqrt{2}\), \(\frac{7}{-2\sqrt{2}} \approx -2.474 \neq 2\). Do đó không thỏa.
    4. Kết luận: Không có giá trị \(k\) nào làm hệ có vô số nghiệm. Hệ chỉ có nghiệm duy nhất khi \(k\neq \pm2\sqrt{2}\).
    Đề 3: Hệ vô nghiệm

    Bài toán: Giải hệ
    \[ \begin{cases} 3x + 6y = 12 \\ 6x + 12y = 25 \end{cases} \]

    Lời giải (kiểm tra định thức):

    1. \(\Delta = 3\cdot12 – 6\cdot6 = 36 – 36 = 0\).
    2. Kiểm tra tỉ lệ hằng số: \(\frac{12}{3}=4\), \(\frac{25}{6}\approx4.167\). Hai tỉ lệ không bằng nhau ⇒ hệ vô nghiệm.
    3. Vì vậy không có (x,y) thỏa mãn đồng thời.
    Đề 4: Hệ có vô số nghiệm – đồng nhất

    Bài toán: Tìm điều kiện của \(a\) để hệ
    \[ \begin{cases} ax + 4y = 8 \\ 2x + ay = 4 \end{cases} \]
    có vô số nghiệm.

    Lời giải:

    1. \(\Delta = a^2 – 8\). Để vô số nghiệm cần \(\Delta=0\) ⇒ \(a^2 = 8\) ⇒ \(a = \pm 2\sqrt{2}\).
    2. Khi \(a=2\sqrt{2}\), hệ trở thành:
      \[ \begin{cases} 2\sqrt{2}\,x + 4y = 8 \\ 2x + 2\sqrt{2}\,y = 4 \end{cases} \]
      Kiểm tra tỉ lệ: \(\frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{4} = \frac{4}{2\sqrt{2}}\) đều bằng \(\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\). Đúng, vậy hệ có vô số nghiệm.
    3. Tương tự với \(a=-2\sqrt{2}\) cũng thỏa điều kiện.
    4. Kết luận: \(a = \pm 2\sqrt{2}\) là giá trị cần tìm.
    Đề 5: Ứng dụng – giá trị trung bình

    Bài toán: Hai số thực \(x, y\) thỏa mãn \(x + y = 10\) và \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\). Tính \(x\) và \(y\).

    Lời giải (phương pháp thế):

    1. Từ tỉ lệ \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\) ⇒ \(2x = 3y\) ⇒ \(x = \frac{3}{2}y\).
    2. Thế vào \(x + y = 10\): \(\frac{3}{2}y + y = 10\) ⇒ \(\frac{5}{2}y = 10\) ⇒ \(y = 4\).
    3. \(x = \frac{3}{2}\cdot4 = 6\).

    Kết quả: \(x = 6, \; y = 4\).

    Đề 6: Hệ có tham số – dạng bất phương trình

    Bài toán: Cho \(k\) là tham số, giải hệ
    \[ \begin{cases} (k-1)x + y = 2 \\ x + (k+2)y = 3 \end{cases} \]
    và xác định giá trị của \(k\) để hệ có nghiệm duy nhất.

    Lời giải:

    1. Định thức: \(\Delta = (k-1)(k+2) – 1\cdot1 = k^2 + k – 3\).
    2. Để có nghiệm duy nhất, \(\Delta \neq 0\) ⇒ \(k^2 + k – 3 \neq 0\).
      • Giải \(k^2 + k – 3 = 0\): \(k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\).
      • Do đó \(k \neq \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\).
    3. Khi \(k\) không bằng hai giá trị trên, dùng công thức Cramer để tính nghiệm:
      • \(x = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & k+2 \end{vmatrix}}{\Delta} = \dfrac{2(k+2) – 3}{k^2 + k – 3}\)
      • \(y = \dfrac{\begin{vmatrix} k-1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}}{\Delta} = \dfrac{3(k-1) – 2}{k^2 + k – 3}\)
    Đề 7: Hệ đồng thời với điều kiện thực tế

    Bài toán: Hai loại hàng A và B có giá bán lần lượt là \(x\) và \(y\) (đơn vị nghìn đồng). Nếu mua 3 chiếc A và 5 chiếc B tổng cộng chi 41 nghìn đồng, còn mua 4 chiếc A và 2 chiếc B tổng cộng chi 28 nghìn đồng. Tìm giá của mỗi loại hàng.

    Lời giải (cộng đại số):

    1. Viết hệ: \(\begin{cases} 3x + 5y = 41 \\ 4x + 2y = 28 \end{cases}\).
    2. Nhân phương trình thứ hai với 5/2 để đồng nhất hệ số y: \(10x + 5y = 70\).
    3. Trừ phương trình thứ nhất: \((10x-3x) = 70-41\) ⇒ \(7x = 29\) ⇒ \(x = \frac{29}{7} \approx 4.14\) (nghìn đồng).
    4. Thế \(x\) vào \(4x + 2y = 28\): \(4\cdot \frac{29}{7} + 2y = 28\) ⇒ \(\frac{116}{7} + 2y = 28\) ⇒ \(2y = 28 – \frac{116}{7} = \frac{196-116}{7}=\frac{80}{7}\) ⇒ \(y = \frac{40}{7} \approx 5.71\).

    Vậy giá A ≈ 4.14 nghìn đồng, giá B ≈ 5.71 nghìn đồng.

    Đề 8: Hệ có 3 ẩn – chuyển thành 2 ẩn

    Bài toán: Cho hệ ba phương trình
    \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 4y – z = 2 \end{cases} \]
    Tìm (x, y, z).

    Lời giải (loại bỏ ẩn z):

    1. Trừ phương trình 1 từ 2: \( (2x – y + 3z) – (x + y + z) = 14 – 6\) ⇒ \(x – 2y + 2z = 8\). (1′)
    2. Trừ phương trình 1 từ 3: \((-x + 4y – z) – (x + y + z) = 2 – 6\) ⇒ \(-2x + 3y – 2z = -4\). (2′)
    3. Bây giờ cộng (1′) và (2′) để loại bỏ \(z\): \((x-2y+2z)+(-2x+3y-2z) = 8-4\) ⇒ \(-x + y = 4\) ⇒ \(y = x + 4\). (3′)
    4. Thế (3′) vào (1′): \(x – 2(x+4) + 2z = 8\) ⇒ \(x – 2x -8 + 2z = 8\) ⇒ \(-x + 2z = 16\) ⇒ \(2z = x + 16\) ⇒ \(z = \frac{x+16}{2}\).
    5. Thế \(y, z\) vào phương trình 1: \(x + (x+4) + \frac{x+16}{2} = 6\).
      Nhân 2: \(2x + 2x + 8 + x + 16 = 12\) ⇒ \(5x + 24 = 12\) ⇒ \(5x = -12\) ⇒ \(x = -\frac{12}{5} = -2.4\).
    6. \(y = x + 4 = 1.6\), \(z = \frac{x+16}{2} = \frac{-2.4 + 16}{2} = \frac{13.6}{2}=6.8\).

    Kết quả: \((x,y,z)=(-2.4,\;1.6,\;6.8)\).

    Đề 9: Hệ phương trình hữu tỉ

    Bài toán: Giải hệ
    \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{4} \\ \frac{3}{x} – \frac{1}{y} = \frac{5}{12} \end{cases} \]
    (Giả sử \(x, y \neq 0\)).

    Lời giải (đặt \(u=\frac{1}{x},\; v=\frac{1}{y}\)):

    1. Hệ trở thành \(\begin{cases} u + 2v = \frac{3}{4} \\ 3u – v = \frac{5}{12} \end{cases}\).
    2. Nhân phương trình thứ nhất với 3: \(3u + 6v = \frac{9}{4}\).
    3. Trừ phương trình thứ hai: \((3u+6v) – (3u – v) = \frac{9}{4} – \frac{5}{12}\) ⇒ \(7v = \frac{27-5}{12}=\frac{22}{12}=\frac{11}{6}\) ⇒ \(v = \frac{11}{42}\).
    4. Thế \(v\) vào \(u + 2v = \frac{3}{4}\): \(u + \frac{22}{42} = \frac{3}{4}\) ⇒ \(u = \frac{3}{4} – \frac{11}{21}=\frac{63-44}{84}=\frac{19}{84}\).
    5. Quay trở lại \(x = \frac{1}{u}= \frac{84}{19}\), \(y = \frac{1}{v}= \frac{42}{11}\).

    Do đó \(x = \frac{84}{19},\; y = \frac{42}{11}\).

    Đề 10: Hệ phương trình với hàm số

    Bài toán: Cho hàm số \(f(t) = at + b\). Nếu \(f(1) + f(2) = 5\) và \(2f(1) – f(3) = -1\), hãy tìm \(a, b\).

    Lời giải (biến đổi thành hệ 2 ẩn):

    1. Viết các điều kiện:
      • \(f(1) = a + b\)
      • \(f(2) = 2a + b\)
      • \(f(3) = 3a + b\)
    2. Thay vào: \((a+b) + (2a+b) = 5\) ⇒ \(3a + 2b = 5\).
      \(2(a+b) – (3a+b) = -1\) ⇒ \(2a + 2b – 3a – b = -1\) ⇒ \(-a + b = -1\).
    3. Giải hệ:
      \[ \begin{cases} 3a + 2b = 5 \\ -a + b = -1 \end{cases} \]
      Nhân phương trình 2 với 2: \(-2a + 2b = -2\).
      Cộng với phương trình 1: \((3a-2a) + (2b+2b) = 5-2\) ⇒ \(a + 4b = 3\).
      Thế \(a = 3 – 4b\) vào \(-a + b = -1\): \(-(3-4b) + b = -1\) ⇒ \(-3 + 4b + b = -1\) ⇒ \(5b = 2\) ⇒ \(b = \frac{2}{5}\).
      \(a = 3 – 4\cdot\frac{2}{5} = 3 – \frac{8}{5} = \frac{7}{5}\).
    4. Vậy \(a = \frac{7}{5},\; b = \frac{2}{5}\).

    Kết luận

    Việc luyện tập đa dạng các dạng đề – từ hệ đồng nhất, hệ có tham số, tới các ứng dụng thực tế – là chìa khóa giúp học sinh thành thạo “hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn”. Khi gặp đề, học sinh nên thực hiện các bước chuẩn:

    1. Kiểm tra định thức \(\Delta\) để nhanh chóng xác định loại nghiệm.
    2. Chọn phương pháp (thế, cộng đại số, Cramer) phù hợp với cấu trúc hệ.
    3. Thực hiện các phép biến đổi một cách có hệ thống, ghi lại mọi bước trung gian.
    4. Kiểm tra lại đáp số bằng cách thay vào cả hai phương trình.

    Hy vọng bộ tài liệu này sẽ là nguồn tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh trong quá trình ôn luyện, luyện tập và chinh phục các kỳ thi quan trọng.