De Thi online

Bí quyết giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn – Tổng hợp đề thi, bài tập và lời giải chi tiết

Viết bởi

admin

trong

Giới thiệu tổng quan về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn (hay còn gọi là hệ linear gồm hai ẩn) là một trong những nội dung cơ bản nhưng quan trọng nhất trong chương trình Toán cấp THPT. Nắm vững cách giải, khả năng phân loại và áp dụng các phương pháp khác nhau (phương pháp thế, cộng đại số, ma trận, định thức) không chỉ giúp học sinh chinh phục các đề thi đại học mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng suy luận.

Bài viết dưới đây sẽ:

  • Khảo sát các dạng đề thi phổ biến liên quan tới “hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn” từ các kỳ thi THPT quốc gia, các kỳ thi chuyên và các đề luyện tập nổi tiếng.
  • Phân tích sâu từng dạng, đưa ra các chiến lược giải quyết tối ưu.
  • Đề xuất 10 đề bài mới, tương tự nhưng vẫn giữ độ khó vừa phải đến cao, kèm theo lời giải chi tiết từng bước.
  • Trình bày toàn bộ quá trình giải bằng công thức LaTeX, giúp học sinh dễ dàng sao chép vào sổ tay.

1. Các dạng đề thi thường gặp

Dưới đây là một số mẫu đề thi thực tế mà giáo viên và học sinh thường gặp. Mỗi mẫu sẽ được mô tả ngắn gọn, sau đó chúng ta sẽ rút ra các điểm chung về cách tiếp cận.

Ví dụ 1: Đề thi THPT Quốc gia (2022) – Phần Toán học

Đề bài: Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} 3x + 4y = 25 \\ 5x – 2y = 7 \end{cases} \]

Đây là dạng hệ đồng nhất (có nghiệm duy nhất)

Ví dụ 2: Đề thi chuyên Toán (2021) – Phần Đề 1

Đề bài: Tìm các giá trị của tham số \(k\) sao cho hệ
\[ \begin{cases} kx + y = 2 \\ x + ky = 3 \end{cases} \]
có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Ví dụ 3: Đề luyện tập – Sách “Bài tập Toán THPT” (tập 4)

Đề bài: Giải hệ
\[ \begin{cases} x – 2y = 5 \\ 4x + ay = b \end{cases} \]
với \(a, b\) là các số thực cho trước, yêu cầu tìm mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\) để hệ có vô số nghiệm.

2. Phân loại hệ và chiến lược giải

Một hệ phương trình có thể thuộc một trong ba trường hợp:

  • Hệ có nghiệm duy nhất – Định thức \(\Delta = a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0\). Phương pháp: cộng đại số hoặc ma trận Cramer.
  • Hệ vô nghiệm – \(\Delta = 0\) nhưng các hệ số tự do không thỏa mãn tỉ lệ (\(\frac{c_1}{a_1} \neq \frac{c_2}{a_2}\)).
  • Hệ vô số nghiệm – \(\Delta = 0\) và \(\frac{c_1}{a_1} = \frac{c_2}{a_2}\). Khi đó các phương trình thực chất là đồng nhất.

Với hệ 2 ẩn, ta thường dùng một trong ba phương pháp sau:

2.1. Phương pháp thế (Substitution)

Thích hợp khi một trong hai phương trình đã sẵn sàng để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Bước thực hiện:

  1. Biến đổi một phương trình thành dạng \(x = \alpha y + \beta\) hoặc \(y = \alpha x + \beta\).
  2. Thế biểu thức này vào phương trình còn lại, giải được ẩn còn lại.
  3. Thế lại để tìm ẩn đầu tiên.

2.2. Phương pháp cộng đại số (Elimination)

Thường dùng khi các hệ số có thể nhân với nhau để “trừ” một ẩn. Quy trình:

  1. Nhân một hoặc cả hai phương trình sao cho hệ số của một ẩn trở nên bằng nhau (có dấu đối lập).
  2. Cộng hoặc trừ hai phương trình lại, loại bỏ ẩn đó.
  3. Giải phương trình còn lại, sau đó thế ngược lại.

2.3. Phương pháp ma trận Cramer

Áp dụng khi học sinh đã học ma trận. Định thức:
\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 – a_2b_1\]
Nếu \(\Delta \neq 0\), nghiệm là:
\[x = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\Delta},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\Delta}\]

3. 10 đề bài mới – Tương tự nhưng phong phú

Dưới đây là 10 đề bài được thiết kế dựa trên các mẫu thực tế, mỗi đề kèm lời giải chi tiết từng bước. Các đề bao gồm cả dạng có tham số, dạng đòi hỏi phân tích điều kiện, và dạng thực tế (ứng dụng).

Đề 1: Hệ cơ bản – nghiệm duy nhất

Bài toán: Giải hệ
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x – y = 5 \end{cases} \]

Lời giải (phương pháp cộng đại số):

  1. Nhân phương trình thứ hai với 3: \(12x – 3y = 15\).
  2. Cộng với phương trình thứ nhất: \((2x+12x) + (3y-3y) = 13+15\) ⇒ \(14x = 28\) ⇒ \(x = 2\).
  3. Thế \(x=2\) vào \(2x+3y=13\): \(4+3y=13\) ⇒ \(3y=9\) ⇒ \(y=3\).

Vậy nghiệm duy nhất là \((x,y) = (2,3)\).

Đề 2: Hệ có tham số – xác định điều kiện

Bài toán: Tìm tất cả các giá trị của \(k\) sao cho hệ
\[ \begin{cases} kx + 2y = 7 \\ 4x + ky = 8 \end{cases} \]
có vô số nghiệm.

Lời giải:

  1. Viết định thức \(\Delta = k\cdot k – 4\cdot 2 = k^2 – 8\).
  2. Để vô số nghiệm, cần \(\Delta = 0\) và \(\frac{7}{k} = \frac{8}{4}\) (tỷ lệ hằng số). Từ \(\Delta=0\): \(k^2=8\) ⇒ \(k=\pm 2\sqrt{2}\).
  3. Kiểm tra tỷ lệ: \(\frac{7}{k} \stackrel{?}{=} \frac{8}{4}=2\). Với \(k=2\sqrt{2}\), \(\frac{7}{2\sqrt{2}} \approx 2.474 \neq 2\); với \(k=-2\sqrt{2}\), \(\frac{7}{-2\sqrt{2}} \approx -2.474 \neq 2\). Do đó không thỏa.
  4. Kết luận: Không có giá trị \(k\) nào làm hệ có vô số nghiệm. Hệ chỉ có nghiệm duy nhất khi \(k\neq \pm2\sqrt{2}\).
Đề 3: Hệ vô nghiệm

Bài toán: Giải hệ
\[ \begin{cases} 3x + 6y = 12 \\ 6x + 12y = 25 \end{cases} \]

Lời giải (kiểm tra định thức):

  1. \(\Delta = 3\cdot12 – 6\cdot6 = 36 – 36 = 0\).
  2. Kiểm tra tỉ lệ hằng số: \(\frac{12}{3}=4\), \(\frac{25}{6}\approx4.167\). Hai tỉ lệ không bằng nhau ⇒ hệ vô nghiệm.
  3. Vì vậy không có (x,y) thỏa mãn đồng thời.
Đề 4: Hệ có vô số nghiệm – đồng nhất

Bài toán: Tìm điều kiện của \(a\) để hệ
\[ \begin{cases} ax + 4y = 8 \\ 2x + ay = 4 \end{cases} \]
có vô số nghiệm.

Lời giải:

  1. \(\Delta = a^2 – 8\). Để vô số nghiệm cần \(\Delta=0\) ⇒ \(a^2 = 8\) ⇒ \(a = \pm 2\sqrt{2}\).
  2. Khi \(a=2\sqrt{2}\), hệ trở thành:
    \[ \begin{cases} 2\sqrt{2}\,x + 4y = 8 \\ 2x + 2\sqrt{2}\,y = 4 \end{cases} \]
    Kiểm tra tỉ lệ: \(\frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{4} = \frac{4}{2\sqrt{2}}\) đều bằng \(\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\). Đúng, vậy hệ có vô số nghiệm.
  3. Tương tự với \(a=-2\sqrt{2}\) cũng thỏa điều kiện.
  4. Kết luận: \(a = \pm 2\sqrt{2}\) là giá trị cần tìm.
Đề 5: Ứng dụng – giá trị trung bình

Bài toán: Hai số thực \(x, y\) thỏa mãn \(x + y = 10\) và \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\). Tính \(x\) và \(y\).

Lời giải (phương pháp thế):

  1. Từ tỉ lệ \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\) ⇒ \(2x = 3y\) ⇒ \(x = \frac{3}{2}y\).
  2. Thế vào \(x + y = 10\): \(\frac{3}{2}y + y = 10\) ⇒ \(\frac{5}{2}y = 10\) ⇒ \(y = 4\).
  3. \(x = \frac{3}{2}\cdot4 = 6\).

Kết quả: \(x = 6, \; y = 4\).

Đề 6: Hệ có tham số – dạng bất phương trình

Bài toán: Cho \(k\) là tham số, giải hệ
\[ \begin{cases} (k-1)x + y = 2 \\ x + (k+2)y = 3 \end{cases} \]
và xác định giá trị của \(k\) để hệ có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

  1. Định thức: \(\Delta = (k-1)(k+2) – 1\cdot1 = k^2 + k – 3\).
  2. Để có nghiệm duy nhất, \(\Delta \neq 0\) ⇒ \(k^2 + k – 3 \neq 0\).
    • Giải \(k^2 + k – 3 = 0\): \(k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\).
    • Do đó \(k \neq \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}\).
  3. Khi \(k\) không bằng hai giá trị trên, dùng công thức Cramer để tính nghiệm:
    • \(x = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & k+2 \end{vmatrix}}{\Delta} = \dfrac{2(k+2) – 3}{k^2 + k – 3}\)
    • \(y = \dfrac{\begin{vmatrix} k-1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}}{\Delta} = \dfrac{3(k-1) – 2}{k^2 + k – 3}\)
Đề 7: Hệ đồng thời với điều kiện thực tế

Bài toán: Hai loại hàng A và B có giá bán lần lượt là \(x\) và \(y\) (đơn vị nghìn đồng). Nếu mua 3 chiếc A và 5 chiếc B tổng cộng chi 41 nghìn đồng, còn mua 4 chiếc A và 2 chiếc B tổng cộng chi 28 nghìn đồng. Tìm giá của mỗi loại hàng.

Lời giải (cộng đại số):

  1. Viết hệ: \(\begin{cases} 3x + 5y = 41 \\ 4x + 2y = 28 \end{cases}\).
  2. Nhân phương trình thứ hai với 5/2 để đồng nhất hệ số y: \(10x + 5y = 70\).
  3. Trừ phương trình thứ nhất: \((10x-3x) = 70-41\) ⇒ \(7x = 29\) ⇒ \(x = \frac{29}{7} \approx 4.14\) (nghìn đồng).
  4. Thế \(x\) vào \(4x + 2y = 28\): \(4\cdot \frac{29}{7} + 2y = 28\) ⇒ \(\frac{116}{7} + 2y = 28\) ⇒ \(2y = 28 – \frac{116}{7} = \frac{196-116}{7}=\frac{80}{7}\) ⇒ \(y = \frac{40}{7} \approx 5.71\).

Vậy giá A ≈ 4.14 nghìn đồng, giá B ≈ 5.71 nghìn đồng.

Đề 8: Hệ có 3 ẩn – chuyển thành 2 ẩn

Bài toán: Cho hệ ba phương trình
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 4y – z = 2 \end{cases} \]
Tìm (x, y, z).

Lời giải (loại bỏ ẩn z):

  1. Trừ phương trình 1 từ 2: \( (2x – y + 3z) – (x + y + z) = 14 – 6\) ⇒ \(x – 2y + 2z = 8\). (1′)
  2. Trừ phương trình 1 từ 3: \((-x + 4y – z) – (x + y + z) = 2 – 6\) ⇒ \(-2x + 3y – 2z = -4\). (2′)
  3. Bây giờ cộng (1′) và (2′) để loại bỏ \(z\): \((x-2y+2z)+(-2x+3y-2z) = 8-4\) ⇒ \(-x + y = 4\) ⇒ \(y = x + 4\). (3′)
  4. Thế (3′) vào (1′): \(x – 2(x+4) + 2z = 8\) ⇒ \(x – 2x -8 + 2z = 8\) ⇒ \(-x + 2z = 16\) ⇒ \(2z = x + 16\) ⇒ \(z = \frac{x+16}{2}\).
  5. Thế \(y, z\) vào phương trình 1: \(x + (x+4) + \frac{x+16}{2} = 6\).
    Nhân 2: \(2x + 2x + 8 + x + 16 = 12\) ⇒ \(5x + 24 = 12\) ⇒ \(5x = -12\) ⇒ \(x = -\frac{12}{5} = -2.4\).
  6. \(y = x + 4 = 1.6\), \(z = \frac{x+16}{2} = \frac{-2.4 + 16}{2} = \frac{13.6}{2}=6.8\).

Kết quả: \((x,y,z)=(-2.4,\;1.6,\;6.8)\).

Đề 9: Hệ phương trình hữu tỉ

Bài toán: Giải hệ
\[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{4} \\ \frac{3}{x} – \frac{1}{y} = \frac{5}{12} \end{cases} \]
(Giả sử \(x, y \neq 0\)).

Lời giải (đặt \(u=\frac{1}{x},\; v=\frac{1}{y}\)):

  1. Hệ trở thành \(\begin{cases} u + 2v = \frac{3}{4} \\ 3u – v = \frac{5}{12} \end{cases}\).
  2. Nhân phương trình thứ nhất với 3: \(3u + 6v = \frac{9}{4}\).
  3. Trừ phương trình thứ hai: \((3u+6v) – (3u – v) = \frac{9}{4} – \frac{5}{12}\) ⇒ \(7v = \frac{27-5}{12}=\frac{22}{12}=\frac{11}{6}\) ⇒ \(v = \frac{11}{42}\).
  4. Thế \(v\) vào \(u + 2v = \frac{3}{4}\): \(u + \frac{22}{42} = \frac{3}{4}\) ⇒ \(u = \frac{3}{4} – \frac{11}{21}=\frac{63-44}{84}=\frac{19}{84}\).
  5. Quay trở lại \(x = \frac{1}{u}= \frac{84}{19}\), \(y = \frac{1}{v}= \frac{42}{11}\).

Do đó \(x = \frac{84}{19},\; y = \frac{42}{11}\).

Đề 10: Hệ phương trình với hàm số

Bài toán: Cho hàm số \(f(t) = at + b\). Nếu \(f(1) + f(2) = 5\) và \(2f(1) – f(3) = -1\), hãy tìm \(a, b\).

Lời giải (biến đổi thành hệ 2 ẩn):

  1. Viết các điều kiện:
    • \(f(1) = a + b\)
    • \(f(2) = 2a + b\)
    • \(f(3) = 3a + b\)
  2. Thay vào: \((a+b) + (2a+b) = 5\) ⇒ \(3a + 2b = 5\).
    \(2(a+b) – (3a+b) = -1\) ⇒ \(2a + 2b – 3a – b = -1\) ⇒ \(-a + b = -1\).
  3. Giải hệ:
    \[ \begin{cases} 3a + 2b = 5 \\ -a + b = -1 \end{cases} \]
    Nhân phương trình 2 với 2: \(-2a + 2b = -2\).
    Cộng với phương trình 1: \((3a-2a) + (2b+2b) = 5-2\) ⇒ \(a + 4b = 3\).
    Thế \(a = 3 – 4b\) vào \(-a + b = -1\): \(-(3-4b) + b = -1\) ⇒ \(-3 + 4b + b = -1\) ⇒ \(5b = 2\) ⇒ \(b = \frac{2}{5}\).
    \(a = 3 – 4\cdot\frac{2}{5} = 3 – \frac{8}{5} = \frac{7}{5}\).
  4. Vậy \(a = \frac{7}{5},\; b = \frac{2}{5}\).

Kết luận

Việc luyện tập đa dạng các dạng đề – từ hệ đồng nhất, hệ có tham số, tới các ứng dụng thực tế – là chìa khóa giúp học sinh thành thạo “hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn”. Khi gặp đề, học sinh nên thực hiện các bước chuẩn:

  1. Kiểm tra định thức \(\Delta\) để nhanh chóng xác định loại nghiệm.
  2. Chọn phương pháp (thế, cộng đại số, Cramer) phù hợp với cấu trúc hệ.
  3. Thực hiện các phép biến đổi một cách có hệ thống, ghi lại mọi bước trung gian.
  4. Kiểm tra lại đáp số bằng cách thay vào cả hai phương trình.

Hy vọng bộ tài liệu này sẽ là nguồn tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh trong quá trình ôn luyện, luyện tập và chinh phục các kỳ thi quan trọng.

Bình luận

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Thêm bài viết