Phương trình lượng giác

Định nghĩa

Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số trong các hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot…). Nghiệm của phương trình là các giá trị của ẩn số làm cho phương trình thành một đẳng thức đúng.

Công thức và Đẳng thức cơ bản

1. Các nghiệm cơ bản:

• $\sin x = a \Leftrightarrow \begin{cases} x = \arcsin a + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin a + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}, |a| \le 1)$
• $\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \arccos a + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}, |a| \le 1)$
• $\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
• $\cot x = a \Leftrightarrow x = \text{arccot } a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

2. Các đẳng thức lượng giác quan trọng:

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• Công thức tổng thành tích: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Phương pháp giải

1. Quy về phương trình lượng giác cơ bản: Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$, $\cot x = a$.

2. Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ): Dùng khi phương trình chứa $\sin x, \cos x$ cùng bậc 2 hoặc dạng $a\sin x + b\cos x = c$. Thường đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ (với $x \neq \pi + k2\pi$) $\Rightarrow \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

3. Phương pháp nhân tử hóa: Biến đổi vế trái thành tích các nhân tử, áp dụng quy tắc: $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases}$.

4. Phương pháp đồng nhất hóa: Dùng cho phương trình dạng $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$. Chia 2 vế cho $\cos^2 x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$) để về phương trình bậc 2 theo $\tan x$.

5. Phương pháp giới hạn (Bất đẳng thức): Sử dụng khi vế trái có giá trị min/max, vế phải là hằng số. Ví dụ: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \Rightarrow \sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình cơ bản

Đề bài: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.

Giải: Ta có $\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$.
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 2: Quy về phương trình cơ bản

Đề bài: Giải phương trình $2\cos^2 x – 3\sin x = 0$.

Giải: Thay $\cos^2 x = 1 – \sin^2 x$:
$2(1 – \sin^2 x) – 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2\sin^2 x + 3\sin x – 2 = 0$.
Đặt $t = \sin x$ ($|t| \le 1$): $2t^2 + 3t – 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{1}{2} \\ t = -2 \text{ (loại)} \end{cases}$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 3: Phương pháp nhân tử hóa

Đề bài: Giải phương trình $\sin 2x – \cos x = 0$.

Giải: $\sin 2x – \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x \cos x – \cos x = 0$
$\Leftrightarrow \cos x (2\sin x – 1) = 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \\ 2\sin x – 1 = 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 4: Phương pháp đồng nhất hóa

Đề bài: Giải phương trình $3\sin^2 x – \sin x \cos x – 2\cos^2 x = 0$.

Giải: Xét $\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \pm 1$, không thỏa mãn PT. Vậy $\cos x \neq 0$.
Chia 2 vế cho $\cos^2 x$: $3\tan^2 x – \tan x – 2 = 0$.
Giải PT bậc 2: $\tan x = 1$ hoặc $\tan x = -\frac{2}{3}$.
$\Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = -\arctan\frac{2}{3} + k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 5: Phương pháp đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}$

Đề bài: Giải phương trình $\sin x + \cos x = 1$.

Giải: Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ ($x \neq \pi + k2\pi$). Khi đó $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
PT thành: $\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1 \Leftrightarrow 2t + 1 – t^2 = 1 + t^2 \Leftrightarrow 2t^2 – 2t = 0 \Leftrightarrow 2t(t-1)=0$.
$\Rightarrow \begin{cases} t = 0 \\ t = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tan \frac{x}{2} = 0 \\ \tan \frac{x}{2} = 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.
Kiểm tra điều kiện $x \neq \pi + k2\pi$: Các nghiệm tìm được đều thỏa mãn.

Kết luận / Chú ý

• Luôn xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình trước khi giải (ví dụ: $\cos x \neq 0$ khi có $\tan x$, $\sin x \neq 0$ khi có $\cot x$).
• Khi đổi biến ($t = \tan \frac{x}{2}$, $t = \sin x$, $t = \cos x$…), phải kiểm tra ngược điều kiện của biến đổi và điều kiện của ẩn số gốc.
• Cần nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt ($0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi…$) để viết nghiệm gọn.
• Khi giải hệ phương trình lượng giác, thường dùng phương pháp đại số (cộng/trừ 2 phương trình) hoặc đổi biến.

Bài tập về nhà

1. Giải PT: $\cos 2x = \frac{1}{2}$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

2. Giải PT: $2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

3. Giải PT: $\tan x + \cot x = 2$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

4. Giải PT: $\sin 3x = \cos 2x$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \frac{\pi}{10} + \frac{k2\pi}{5}$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

5. Giải PT: $\sqrt{3}\sin x – \cos x = 1$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

6. Giải PT: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

7. Giải PT: $2\cos^2 x + 3\sin x = 3$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

8. Giải PT: $\tan 2x = \cot x$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$

9. Giải PT: $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}$.
   
   💡Lời giải - Đáp án▶

   $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$

10. Giải PT: $\sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
    
    💡Lời giải - Đáp án▶

    $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$