Phương trình lượng giác sin x = sin a

Định nghĩa

Phương trình sin x = sin a là phương trình lượng giác cơ bản, trong đó a là tham số (hằng số) cho trước, x là ẩn số cần tìm. Nghiệm của phương trình là tập hợp các giá trị x sao cho giá trị sin x bằng giá trị sin a.

Công thức nghiệm chung

Phương trình sin x = sin a có nghiệm chung:

x = a + kπ hoặc x = π – a + kπ, với k ∈ ℕ.

Hay viết gọn: x = (-1)^k a + kπ, k ∈ ℕ.

Phương pháp giải

1. Bước 1: Xác định giá trị a (thường a ∈ [0, 2π) hoặc [-π/2, π/2]).
2. Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm chung.
3. Bước 3: Nếu đề bài yêu cầu nghiệm trên khoảng xác định (VD: x ∈ [0, 2π)), thay các giá trị k ∈ ℕ để lọc nghiệm thỏa mãn.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Giải phương trình: sin x = sin π/3.

Giải: Theo công thức: x = π/3 + kπ hoặc x = π – π/3 + kπ = 2π/3 + kπ (k ∈ ℕ).

Ví dụ 2

Giải phương trình: sin x = sin (-π/6).

Giải: x = -π/6 + kπ hoặc x = π – (-π/6) + kπ = 7π/6 + kπ (k ∈ ℕ).

Ví dụ 3

Giải phương trình: sin 2x = sin π/4.

Giải: 2x = π/4 + kπ ⇒ x = π/8 + kπ/2; hoặc 2x = π – π/4 + kπ = 3π/4 + kπ ⇒ x = 3π/8 + kπ/2 (k ∈ ℕ).

Ví dụ 4

Tìm nghiệm của phương trình sin x = 1/2 trên khoảng [0, 2π).

Giải: sin x = 1/2 = sin π/6. Nghiệm chung: x = π/6 + kπ hoặc x = 5π/6 + kπ. Với k=0: x=π/6, x=5π/6 (thỏa). Với k=1: x=7π/6, x=11π/6 (không thuộc [0, 2π)). Vậy nghiệm: x ∈ {π/6, 5π/6}.

Ví dụ 5

Giải phương trình: sin(3x – π/4) = sin π/3.

Giải: 3x – π/4 = π/3 + kπ ⇒ 3x = 7π/12 + kπ ⇒ x = 7π/36 + kπ/3. Hoặc 3x – π/4 = π – π/3 + kπ = 2π/3 + kπ ⇒ 3x = 11π/12 + kπ ⇒ x = 11π/36 + kπ/3 (k ∈ ℕ).

Kết luận / Chú ý

• Công thức x = (-1)^k a + kπ rất tiện để viết gọn nhưng cần hiểu bản chất: hai nhánh nghiệm đối xứng qua π/2.
• Khi a không phải góc đặc biệt, vẫn áp dụng công thức y như nhau.
• Chú ý đổi biến đúng khi ẩn số nằm trong biểu thức phức tạp (VD: sin(2x+…)).
• Phép biến đổi sin x = sin a ⇔ x = a + kπ hoặc x = π – a + kπ là phép đồng giá.

Bài tập về nhà

1. Giải pt: sin x = sin π/5.
   💡Lời giải - Đáp án▶

   x = π/5 + kπ hoặc x = 4π/5 + kπ (k ∈ ℕ)

2. Giải pt: sin x = sin (-π/4).
   💡Lời giải - Đáp án▶

   x = -π/4 + kπ hoặc x = 5π/4 + kπ (k ∈ ℕ)

3. Giải pt: sin 3x = sin π/6.
   💡Lời giải - Đáp án▶

   3x = π/6 + kπ ⇒ x = π/18 + kπ/3; 3x = 5π/6 + kπ ⇒ x = 5π/18 + kπ/3 (k ∈ ℕ)

4. Tìm nghiệm pt sin x = √3/2 trên [0, 2π).
   💡Lời giải - Đáp án▶

   sin x = sin π/3 ⇒ x = π/3, 2π/3

5. Giải pt: sin(2x + π/3) = sin π/6.
   💡Lời giải - Đáp án▶

   2x+π/3=π/6+kπ ⇒ x=-π/12+kπ/2; 2x+π/3=5π/6+kπ ⇒ x=π/4+kπ/2 (k∈ℕ)

6. Giải pt: sin(x/2) = sin π/8.
   💡Lời giải - Đáp án▶

   x/2 = π/8 + kπ ⇒ x = π/4 + 2kπ; x/2 = 7π/8 + kπ ⇒ x = 7π/4 + 2kπ (k ∈ ℕ)

7. Tìm nghiệm pt sin 2x = 1/2 trên [-π, π].
   💡Lời giải - Đáp án▶

   sin 2x = sin π/6 ⇒ 2x=π/6+kπ ⇒ x=π/12+kπ/2; 2x=5π/6+kπ ⇒ x=5π/12+kπ/2. Trên [-π,π]: x ∈ {-π/12, 5π/12, 11π/12, -7π/12}

8. Giải pt: sin(5x – π/2) = sin π/4.
   💡Lời giải - Đáp án▶

   5x-π/2=π/4+kπ ⇒ x=3π/20+kπ/5; 5x-π/2=3π/4+kπ ⇒ x=π/4+kπ/5 (k∈ℕ)

9. Tìm a để pt sin x = sin a có nghiệm x = π/3.
   💡Lời giải - Đáp án▶

   sin π/3 = sin a ⇒ a = π/3 + kπ hoặc a = 2π/3 + kπ (k ∈ ℕ)

10. Giải pt: sin(x – π/4) = sin(3π/4).
    💡Lời giải - Đáp án▶

    x-π/4=3π/4+kπ ⇒ x=π+kπ; x-π/4=π/4+kπ ⇒ x=π/2+kπ (k∈ℕ)