Định nghĩa
Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số trong các hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot). Mục tiêu là tìm tập hợp các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình.
Các dạng phương trình cơ bản
1. sin x = a: Có nghiệm khi -1 ≤ a ≤ 1. Nghiệm: x = (-1)^k α + kπ, k ∈ Z, với α = arcsin a ∈ [-π/2, π/2].
2. cos x = a: Có nghiệm khi -1 ≤ a ≤ 1. Nghiệm: x = ± α + k2π, k ∈ Z, với α = arccos a ∈ [0, π].
3. tan x = a: Luôn có nghiệm ∀a ∈ R. Nghiệm: x = α + kπ, k ∈ Z, với α = arctan a ∈ (-π/2, π/2).
4. cot x = a: Luôn có nghiệm ∀a ∈ R. Nghiệm: x = α + kπ, k ∈ Z, với α = arccot a ∈ (0, π).
Công thức và họn thức quan trọng
• Đối xữa: sin^2 x + cos^2 x = 1.
• Cộng góc: sin(α±β), cos(α±β), tan(α±β).
• Góc 2α: sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos^2 x – sin^2 x = 2cos^2 x – 1 = 1 – 2sin^2 x; tan 2x = 2tan x / (1 – tan^2 x).
• Tổng → Tích: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)…
• Tích → Tổng: 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A-B)…
Phương pháp giải
1. Quy về phương trình cơ bản: Sử dụng họn thức biến đổi, cộng góc, góc 2α để biến đổi thành sin x = a, cos x = a…
2. Đải số (thay thế): Đặt t = sin x, t = cos x, t = tan x, t = cot x (lưu ý điều kiện xảc định). Giải PT bậc 1, 2 về t, sau ó giải PT lượng giác về x.
3. Phương pháp tổng → tích / tích → tổng: Biến đổi tổng/thực của các hàm lượng giác thành tích để rút gốn.
4. Phương pháp a sin x + b cos x = c: Quy về dạng R sin(x + φ) = c (R = √(a^2+b^2), sin φ = b/R, cos φ = a/R). Yêu cầu |c| ≤ R.
5. Phương pháp t = tan(x/2): sin x = 2t/(1+t^2), cos x = (1-t^2)/(1+t^2). Áp dụng cho PT hội tự so sánh của sin x, cos x.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: sin 2x = √3/2
Giải: sin 2x = √3/2 ⇒ 2x = π/3 + k2π hoặc 2x = 2π/3 + k2π ⇒ x = π/6 + kπ hoặc x = π/3 + kπ, k ∈ Z.
Ví dụ 2: 2cos^2 x – 3sin x = 0
Giải: 2(1 – sin^2 x) – 3sin x = 0 ⇒ 2sin^2 x + 3sin x – 2 = 0. Đặt t = sin x: 2t^2 + 3t – 2 = 0 ⇒ t = 1/2 (thộa) hoặc t = -2 (loại). ⇒ sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π.
Ví dụ 3: sin x + cos x = 1
Giải: √2 sin(x + π/4) = 1 ⇒ sin(x + π/4) = √2/2. ⇒ x + π/4 = π/4 + k2π hoặc x + π/4 = 3π/4 + k2π. ⇒ x = k2π hoặc x = π/2 + k2π.
Ví dụ 4: tan x + cot x = 2
Giải: tan x + 1/tan x = 2 (tan x ≠ 0). Đặt t = tan x: t + 1/t = 2 ⇒ t^2 – 2t + 1 = 0 ⇒ (t-1)^2 = 0 ⇒ t = 1. ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ.
Ví dụ 5: sin 3x = cos 2x
Giải: cos(π/2 – 3x) = cos 2x ⇒ π/2 – 3x = ± 2x + k2π. TH1: π/2 – 3x = 2x + k2π ⇒ 5x = π/2 – k2π ⇒ x = π/10 + k2π/5. TH2: π/2 – 3x = -2x + k2π ⇒ x = π/2 – k2π.
Kết luận / Chú ý
• Luôn kiểm tra điều kiện xảc định (Một cột đệu tan x, cot x không được 0).
• Khi đải số (t = sin x, cos x…), phải kiểm tra t ∈ [-1, 1].
• Với phương pháp t = tan(x/2), lý thẽ x ≠ π + k2π (vì t không xảc định).
• Cần thận với các bước biến đổi (có thể sinh ra nghiệm phụ).
Bài tập về nhà
1. Giải PT: sin 3x = 1/2. x = π/18 + k2π/3 hoặc x = 5π/18 + k2π/3💡Lời giải - Đáp án▶
2. Giải PT: cos 2x = -1/2. x = ± 2π/3 + k2π💡Lời giải - Đáp án▶
3. Giải PT: 2sin^2 x – 3cos x + 1 = 0. x = ± π/3 + k2π💡Lời giải - Đáp án▶
4. Giải PT: tan x + cot x = -2. x = -π/4 + kπ💡Lời giải - Đáp án▶
5. Giải PT: sin x + √3 cos x = 1. x = 2kπ hoặc x = -π/3 + 2kπ💡Lời giải - Đáp án▶
6. Giải PT: sin 2x + cos 2x = √2 cos x. x = ± π/6 + k2π/3 hoặc x = π/2 + k2π💡Lời giải - Đáp án▶
7. Giải PT: 3sin x – 4cos x = 2. x = arcsin(2/5) + φ + k2π hoặc x = π – arcsin(2/5) + φ + k2π (φ = arctan(-4/3))💡Lời giải - Đáp án▶
8. Giải PT: sin^4 x + cos^4 x = 1. x = kπ/2💡Lời giải - Đáp án▶
9. Giải PT: tan 2x = √3. x = π/6 + kπ/2💡Lời giải - Đáp án▶
10. Giải PT: cot x – tan x = 2. x = π/8 + kπ/2💡Lời giải - Đáp án▶