Tác giả: admin

Phân tích Đề bài

Dữ kiện cho trước và điều kiện:

• Hàm số: f(x) = x²·sin(x), xác định và liên tục trên đoạn [0; π].
• Trục hoành: y = 0.
• Hai đường thẳng biên: x = 0 và x = π.

Yêu cầu của bài toán:

• Tính tích phân xác định I = ∫₀^π x²·sin(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần.
• Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x), trục hoành (Ox), đường thẳng x = 0 và x = π.
• Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H quanh trục Oy bằng phương pháp tích phân vỏ trụ.

Các khái niệm liên quan:

Tích phân từng phần: Nếu u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục thì ∫u dv = u·v − ∫v du. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi tích phân chứa tích của một đa thức và một hàm lượng giác, hàm mũ, hoặc hàm logarit.

Diện tích hình phẳng: Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b], thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b là S = ∫ₐᵇ f(x) dx.

Thể tích khối tròn xoay – Phương pháp vỏ trụ (Shell Method): Khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Oy, thể tích được tính bằng công thức V = 2π ∫ₐᵇ x·f(x) dx.

[IMAGE – Hình 1: Đồ thị hàm số y = x²·sin(x) trên đoạn [0, π], tô đậm hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị và trục Ox]

Phương pháp Giải

Phần a) Tính tích phân I = ∫₀^π x²·sin(x) dx

Cách tiếp cận và chiến lược:

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng tích của một đa thức bậc hai x² với hàm lượng giác sin(x). Đối với loại tích phân này, phương pháp tích phân từng phần là lựa chọn tối ưu vì đạo hàm của đa thức sẽ giảm bậc dần cho đến khi đa thức mất hẳn.

Cụ thể, ta cần áp dụng tích phân từng phần hai lần liên tiếp, vì mỗi lần tích phân, bậc của đa thức giảm đi 1.

Lời giải chi tiết:

Lần 1: Đặt u = x² và dv = sin(x) dx.

Khi đó: du = 2x dx, v = −cos(x).

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫ x²·sin(x) dx = −x²·cos(x) + ∫ 2x·cos(x) dx

Lần 2: Tính ∫ 2x·cos(x) dx. Đặt u = 2x, dv = cos(x) dx.

Khi đó: du = 2 dx, v = sin(x).

∫ 2x·cos(x) dx = 2x·sin(x) − ∫ 2·sin(x) dx = 2x·sin(x) + 2·cos(x) + C

Nguyên hàm tổng quát:

F(x) = ∫ x²·sin(x) dx = −x²·cos(x) + 2x·sin(x) + 2·cos(x) + C

Tính tích phân xác định:

I = F(π) − F(0)

Tại x = π:

F(π) = −π²·cos(π) + 2π·sin(π) + 2·cos(π) = −π²·(−1) + 2π·0 + 2·(−1) = π² − 2

Tại x = 0:

F(0) = −0²·cos(0) + 2·0·sin(0) + 2·cos(0) = 0 + 0 + 2·1 = 2

Vậy: I = (π² − 2) − 2 = π² − 4

Có thể viết dưới dạng số gần đúng: π² − 4 ≈ 9,8696 − 4 ≈ 5,87.

Phần b) Tính diện tích S của hình phẳng H

Phân tích dấu của f(x) trên [0; π]:

• Trên [0; π]: x ≥ 0 nên x² ≥ 0.
• Trên [0; π]: sin(x) ≥ 0 vì sin không âm trên nửa chu kì đầu tiên.

Do đó: f(x) = x²·sin(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; π].

Khi f(x) ≥ 0 trên toàn bộ đoạn [0; π], hình phẳng H nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (hoặc tiếp xúc tại x = 0 và x = π), nên diện tích hình phẳng chính bằng giá trị của tích phân xác định:

S = ∫₀^π f(x) dx = ∫₀^π x²·sin(x) dx = π² − 4

Diện tích S = π² − 4 (đơn vị diện tích).

Phần c) Tính thể tích V khi quay H quanh trục Oy

Cách tiếp cận:

Khi cần tính thể tích khối tròn xoay do quay hình phẳng quanh trục Oy, phương pháp tích phân vỏ trụ (Shell Method) thường thuận tiện hơn phương pháp đĩa (disk method), vì phương pháp đĩa đòi hỏi biểu diễn x theo y — điều rất khó với hàm f(x) = x²·sin(x).

Công thức vỏ trụ quay quanh Oy:

V = 2π ∫₀^π x · f(x) dx = 2π ∫₀^π x · x²·sin(x) dx = 2π ∫₀^π x³·sin(x) dx

Bài toán quy về tính tích phân J = ∫₀^π x³·sin(x) dx. Đây là tích phân từng phần cần thực hiện ba lần.

[IMAGE – Hình 3: Minh họa khối tròn xoay khi quay H quanh trục Oy với các vỏ trụ]

Tính J = ∫₀^π x³·sin(x) dx:

Lần 1: u = x³, dv = sin(x)dx → du = 3x²dx, v = −cos(x)

J = −x³·cos(x) + 3∫ x²·cos(x) dx

Lần 2: u = x², dv = cos(x)dx → du = 2x dx, v = sin(x)

∫ x²·cos(x) dx = x²·sin(x) − 2∫ x·sin(x) dx

Lần 3: u = x, dv = sin(x)dx → du = dx, v = −cos(x)

∫ x·sin(x) dx = −x·cos(x) + sin(x) + C

Ghép lại:

∫ x²·cos(x) dx = x²·sin(x) − 2[−x·cos(x) + sin(x)] = x²·sin(x) + 2x·cos(x) − 2sin(x) + C

J = −x³·cos(x) + 3[x²·sin(x) + 2x·cos(x) − 2sin(x)]

J = −x³·cos(x) + 3x²·sin(x) + 6x·cos(x) − 6sin(x)

Tính tích phân xác định:

Tại x = π:

J(π) = −π³·(−1) + 3π²·0 + 6π·(−1) − 6·0 = π³ − 6π

Tại x = 0:

J(0) = 0 + 0 + 0 − 0 = 0

Vậy: J = π³ − 6π

Thể tích khối tròn xoay:

V = 2π · J = 2π(π³ − 6π) = 2π⁴ − 12π² = 2π²(π² − 6)

Với π² ≈ 9,87, ta có V ≈ 2(9,87)(3,87) ≈ 76,4 (đơn vị thể tích).

Đáp số: V = 2π²(π² − 6)

[IMAGE – Hình 4: Bảng tổng hợp kết quả ba phần a, b, c]

Cách Giải Khác

1. Phương pháp bảng (Tabular Method) cho tích phân từng phần

Thay vì thực hiện tích phân từng phần nhiều lần bằng cách viết chi tiết, ta có thể dùng phương pháp bảng — cách này gọn gàng và ít mắc lỗi sai hơn khi phải tích phân nhiều lần.

Nguyên tắc: Liệt kê đạo hàm của phần đa thức (cột “D”) và nguyên hàm của phần còn lại (cột “I”), rồi nhân chéo với dấu xen kẽ (+, −).

Áp dụng cho phần a) với f(x) = x²sin(x):

D (Đạo hàm)	Dấu	I (Nguyên hàm)
x²	+	sin(x)
2x	−	−cos(x)
2	+	−sin(x)
0	−	cos(x)

Nguyên hàm: F(x) = x²·(−cos x) − 2x·(−sin x) + 2·cos x = −x²cos x + 2x sin x + 2cos x ✓

Ưu điểm: Nhanh hơn, trực quan hơn, giảm thiểu sai sót khi áp dụng nhiều lần. Rất phù hợp cho kiểm tra và bài thi trắc nghiệm.

Nhược điểm: Ít thể hiện rõ bản chất toán học của tích phân từng phần, nên khi học phần lý thuyết, nên trình bày chi tiết.

2. Sử dụng số phức (Phương pháp hình thức)

Đối với các tích phân dạng ∫ xⁿ·e^(ax)·cos(bx) dx hoặc ∑ xⁿ·sin(bx) dx, ta có thể sử dụng kĩ thuật “lấy phần thực/phần ảo” của tích phân phức tạp tương ứng.

Ví dụ: Đặt J_c = ∫₀^π x²·e^(ix) dx, thì I = Im(J_c) (phần ảo của J_c).

Đây là kĩ thuật tiên tiến, thường dùng trong toán cao cấp. Tuy nhiên, đối với bậc đa thức thấp (như x²), phương pháp tích phân từng phần truyền thống vẫn đơn giản hơn.

Ưu điểm: Hiệu quả nhất khi n lớn (xⁿ với n ≥ 4) hoặc khi kết hợp cả hàm mũ và lượng giác.

Nhược điểm: Yêu cầu kiến thức về số phức, không phù hợp với tất cả học sinh THPT.

3. So sánh phương pháp đĩa và vỏ trụ cho phần c)

Đối với bài toán quay quanh Oy, ta có hai phương pháp:

• Phương pháp vỏ trụ (Shell): Tích phân theo x, giữ nguyên biến x. Công thức: V = 2π ∫ x·f(x) dx. → Được sử dụng trong lời giải.
• Phương pháp đĩa (Washer): Tích phân theo y, cần biểu diễn x = g(y) từ phương trình y = x²sin(x). Điều này không khả thi vì hàm số không đơn điệu và không giải được x theo y.

Kết luận: Khi quay quanh Oy mà hàm y = f(x) không đơn điệu hoặc không khả nghịch, phương pháp vỏ trụ luôn là lựa chọn ưu tiên.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên đổi dấu khi tính tích phân từng phần:

Đây là sai lầm phổ biến nhất. Khi áp dụng ∫ u dv = u·v − ∫ v du, học sinh thường quên dấu trừ trước ∫v du hoặc nhầm lẫn giữa u và v. Cách khắc phục: Luôn viết rõ ràng từng bước u, du, v, dv và kiểm tra lại phép thay thế.

2. Sai khi tính toán hàm lượng giác tại biên:

• cos(π) = −1, không phải 1. Sai lầm này khiến kết quả bị sai dấu.
• sin(π) = 0, sin(0) = 0. Nhiều học sinh nhầm sin(π) = 1.

Cách khắc phục: Vẽ đường tròn lượng giác hoặc lập bảng giá trị lượng giác tại các góc đặc biệt trước khi tính toán.

3. Nhầm giữa diện tích và tích phân xác định:

Nhiều học sinh mặc định diện tích luôn bằng tích phân xác định. Điều này chỉ đúng khi f(x) ≥ 0 trên toàn bộ đoạn [a; b]. Nếu f(x) đổi dấu, ta phải tách tích phân tại các điểm f(x) = 0 và lấy giá trị tuyệt đối từng phần. Trong bài này, vì f(x) = x²·sin(x) ≥ 0 trên [0; π] nên S = I = π² − 4. Nếu đề bài dùng đoạn [0; 2π] thì tình huống sẽ khác hoàn toàn!

4. Dùng sai công thức thể tích khối tròn xoay:

Khi quay quanh Ox: V = π ∫ y² dx (phương pháp đĩa).

Khi quay quanh Oy: V = 2π ∫ x·y dx (phương pháp vỏ trụ).

Nhiều học sinh bị nhầm lẫn giữa hai công thức, đặc biệt là quên hệ số 2π ở phương pháp vỏ trụ hoặc viết nhầm π thay vì 2π.

5. Sai khi áp dụng tích phân từng phần nhiều lần:

Lỗi thường gặp là thay nhầm F(x) vào sai cận hoặc quên thay cận sau bước tính nguyên hàm tổng quát. Cách khắc phục: Tính nguyên hàm tổng quát F(x) + C trước, sau đó mới thay cận. Nếu dùng phương pháp bảng, hãy đối chiếu kết quả với cách làm chi tiết để kiểm tra.

[IMAGE – Hình 5: Minh họa các sai lầm thường gặp khi thay cận tích phân]

Bài tập Luyện tập

Bài 1. Tính tích phân: I₁ = ∫₀^π x·sin(x) dx

Lời giải: Đặt u = x, dv = sin(x)dx → du = dx, v = −cos(x).

I₁ = [−x·cos(x)]₀^π + ∫₀^π cos(x) dx = π + [sin(x)]₀^π = π + 0 = π

---

Bài 2. Tính tích phân: I₂ = ∫₀¹ x²·eˣ dx

Lời giải: Đặt u = x², dv = eˣdx → du = 2x dx, v = eˣ.

I₂ = [x²·eˣ]₀¹ − 2∫₀¹ x·eˣ dx = e − 2{[xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx} = e − 2(e − e + 1) = e − 2

Đáp án: I₂ = e − 2 ≈ 0,718.

---

Bài 3. Tính tích phân: I₃ = ∫₀^(π/2) x·cos(x) dx

Lời giải: Đặt u = x, dv = cos(x)dx → du = dx, v = sin(x).

I₃ = [x·sin(x)]₀^(π/2) − ∫₀^(π/2) sin(x) dx = π/2 − [−cos(x)]₀^(π/2) = π/2 − (0 + 1) = π/2 − 1

---

Bài 4. Tính tích phân: I₄ = ∫₀^(π/4) x·cos(2x) dx

Lời giải: Đặt u = x, dv = cos(2x)dx → du = dx, v = sin(2x)/2.

I₄ = [x·sin(2x)/2]₀^(π/4) − ∫₀^(π/4) sin(2x)/2 dx = π/4 · 1/2 − [−cos(2x)/4]₀^(π/4) = π/8 − (0 − 1/4) = π/8 + 1/4

---

Bài 5. Tính tích phân: I₅ = ∫₀¹ x·ln(1 + x) dx

Lời giải: Đặt u = ln(1 + x), dv = x·dx → du = dx/(1 + x), v = x²/2.

I₅ = [x²·ln(1+x)/2]₀¹ − ∫₀¹ x²/[2(1+x)] dx = ln(2)/2 − (1/2)∫₀¹ [x − 1 + 1/(1+x)] dx

= ln(2)/2 − (1/2)[x²/2 − x + ln(1+x)]₀¹ = ln(2)/2 − (1/2)(1/2 − 1 + ln2) = ln(2)/2 − (−1/2 + ln2/2)

Đáp án: I₅ = 1/4.

Phân tích Đề bài

[IMAGE: Đồ thị hàm số f(x) = x·arctan(x) trên đoạn [0, 1]]

Dữ kiện cho trước:

• Hàm số f(x) = x · arctan(x), xác định và liên tục trên [0; 1].
• Tại x = 0: f(0) = 0 · arctan(0) = 0.
• Tại x = 1: f(1) = 1 · arctan(1) = π/4 ≈ 0,785.

Điều kiện quan trọng: Trên đoạn [0; 1], ta có x ≥ 0 và arctan(x) ≥ 0, do đó f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1]. Điều này có nghĩa đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox.

Yêu cầu của bài toán:

• Tìm nguyên hàm F(x) thỏa mãn điều kiện ban đầu F(0) = 1/2.
• Tính tích phân xác định I = ∫₀¹ f(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần.
• Tính diện tích hình phẳng S — trong trường hợp này trùng với giá trị tích phân vì f(x) ≥ 0.
• Tính thể tích khối tròn xoay V khi quay hình phẳng H quanh trục Oy bằng phương pháp vỏ trụ (shell method).

Các khái niệm liên quan:

• Tích phân từng phần: Nếu u = u(x), v = v(x) khả vi liên tục thì ∫ u dv = uv − ∫ v du.
• Nguyên hàm của arctan(x): ∫ arctan(x) dx = x·arctan(x) − (1/2)ln(1 + x²) + C.
• Phương pháp vỏ trụ: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Oy: V = 2π ∫ₐᵇ x · f(x) dx.
• Công thức chia đa thức: x²/(1 + x²) = 1 − 1/(1 + x²), kỹ thuật thường dùng khi tích phân chứa biểu thức hữu tỉ liên quan arctan.

Phương pháp Giải

Phần a) Tìm nguyên hàm F(x)

Chiến lược: Hàm f(x) = x · arctan(x) là tích của một đa thức (x) và một hàm lượng giác ngược (arctan(x)). Phương pháp tích phân từng phần là lựa chọn tối ưu: đặt u = arctan(x) để khử hàm lượng giác ngược, và dv = x dx để phần v dễ tính.

Lời giải:

Đặt:

• u = arctan(x) → du = dx/(1 + x²)
• dv = x dx → v = x²/2

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫ x · arctan(x) dx = (x²/2) · arctan(x) − ∫ (x²/2) · [1/(1 + x²)] dx

= (x²/2) · arctan(x) − (1/2) ∫ x²/(1 + x²) dx

Xử lý tích phân ∫ x²/(1 + x²) dx:

Chia đa thức: x²/(1 + x²) = (1 + x² − 1)/(1 + x²) = 1 − 1/(1 + x²)

Nên:

∫ x²/(1 + x²) dx = ∫ 1 dx − ∫ 1/(1 + x²) dx = x − arctan(x) + C

Thay lại:

∫ x · arctan(x) dx = (x²/2) · arctan(x) − (1/2)[x − arctan(x)] + C

= (x²/2) · arctan(x) − x/2 + (1/2) · arctan(x) + C

= [(x² + 1)/2] · arctan(x) − x/2 + C

Áp dụng điều kiện F(0) = 1/2:

F(0) = [(0 + 1)/2] · arctan(0) − 0/2 + C = (1/2) · 0 − 0 + C = C

Suy ra C = 1/2.

Đáp án: F(x) = [(x² + 1)/2] · arctan(x) − x/2 + 1/2

[IMAGE: Minh họa quá trình tích phân từng phần — bảng chọn u, dv]

Phần b) Tính tích phân I = ∫₀¹ f(x) dx

Sử dụng kết quả từ phần a):

I = F(1) − F(0)

Tính F(1):

F(1) = [(1 + 1)/2] · arctan(1) − 1/2 + 1/2 = 1 · (π/4) = π/4

Tính F(0) = 1/2 (đã cho)

I = π/4 − 1/2 ≈ 0,7854 − 0,5 = 0,2854

Phần c) Tính diện tích S

Vì f(x) = x · arctan(x) ≥ 0 trên toàn bộ đoạn [0; 1] (như đã phân tích ở phần Đề bài), hình phẳng H nằm hoàn toàn phía trên trục Ox. Do đó diện tích bằng chính giá trị tích phân:

S = ∫₀¹ |f(x)| dx = ∫₀¹ f(x) dx = I = π/4 − 1/2

[IMAGE: Hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox, x = 0, x = 1]

Phần d) Tính thể tích V khi quay quanh trục Oy

Chiến lược: Khi quay hình phẳng quanh trục Oy, phương pháp vỏ trụ (shell method) là phù hợp nhất vì ta tích phân theo x. Công thức:

V = 2π ∫₀¹ x · f(x) dx = 2π ∫₀¹ x² · arctan(x) dx

Gọi J = ∫ x² · arctan(x) dx

Tích phân từng phần:

• u = arctan(x) → du = dx/(1 + x²)
• dv = x² dx → v = x³/3

J = (x³/3) · arctan(x) − ∫ [x³/(3(1 + x²))] dx

= (x³/3) · arctan(x) − (1/3) ∫ x³/(1 + x²) dx

Xử lý ∫ x³/(1 + x²) dx:

Chia đa thức: x³/(1 + x²) = x − x/(1 + x²)

Nên:

∫ x³/(1 + x²) dx = ∫ x dx − ∫ x/(1 + x²) dx = x²/2 − (1/2)ln(1 + x²) + C

Thay lại:

J = (x³/3) · arctan(x) − (1/3)[x²/2 − (1/2)ln(1 + x²)] + C

= (x³/3) · arctan(x) − x²/6 + ln(1 + x²)/6 + C

Tính J từ 0 đến 1:

J(1) = (1/3)(π/4) − 1/6 + ln(2)/6 = π/12 − 1/6 + ln2/6

J(0) = 0 − 0 + ln(1)/6 = 0

Vậy:

V = 2π · (π/12 − 1/6 + ln2/6)

= 2π · (π − 2 + 2ln2)/12

V = π(π − 2 + 2ln2)/6 ≈ 1,324 (đvtt)

[IMAGE: Khối tròn xoay thu được khi quay H quanh trục Oy — minh họa vỏ trụ]

Cách Giải Khác

1. Phương pháp khai triển chuỗi Taylor

Ta có khai triển:

arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … (với |x| ≤ 1)

Nên:

x · arctan(x) = x² − x⁴/3 + x⁶/5 − x⁸/7 + …

Tích phân từng phần tử:

I = ∫₀¹ (x² − x⁴/3 + x⁶/5 − x⁸/7 + …) dx

= [x³/3 − x⁵/15 + x⁷/35 − x⁹/63 + …]₀¹

= 1/3 − 1/15 + 1/35 − 1/63 + …

Chuỗi này hội tụ về đúng π/4 − 1/2. Phương pháp này phù hợp khi cần tính gần đúng bằng máy tính, nhưng không cho kết quả dạng đóng đẹp như phương pháp tích phân từng phần.

[IMAGE: Minh họa các số hạng đầu của chuỗi hội tụ]

2. Phương pháp tích phân theo tham số

Xét I(α) = ∫₀¹ x · arctan(αx) dx với α ∈ [0, 1]. Khi α = 0 thì I(0) = 0, khi α = 1 thì I(1) = I (bài toán cần tính). Tính I'(α) bằng cách đạo hàm dưới dấu tích phân (công thức Leibniz), sau đó tích phân lại theo α. Đây là phương pháp Feynman — mạnh mẽ nhưng phức tạp hơn cho bài toán cụ thể này.

So sánh ưu nhược điểm:

• Phương pháp tích phân từng phần: Trực tiếp, cho kết quả chính xác dưới dạng đóng. Là phương pháp được khuyến nghị cho dạng bài này.
• Phương pháp chuỗi Taylor: Hữu ích để ước lượng số học, nhưng không cho công thức gọn. Tuy nhiên, có giá trị trong việc kiểm tra kết quả.
• Phương pháp tham số: Sáng tạo nhưng đòi hỏi kiến thức nâng cao về phép vi phân dưới dấu tích phân. Phù hợp cho các bài phức tạp hơn.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Đặt sai u và dv trong tích phân từng phần:

Ví dụ sai: Đặt u = x, dv = arctan(x) dx → cần phải tính v = ∫ arctan(x) dx, tức là giải một bài toán con khó hơn. Lựa chọn đúng là u = arctan(x), dv = x dx.

2. Sai khi chia đa thức:

Khi gặp x²/(1 + x²), nhiều học sinh cố gắng phân tích thành phân thức riêng thay vì sử dụng chia đa thức đơn giản: x²/(1 + x²) = 1 − 1/(1 + x²). Đây là kỹ thuật cơ bản và tiết kiệm thời gian đáng kể.

3. Sai công thức thể tích quay quanh trục Oy:

Phương pháp đĩa (disk method): V = π∫[x(y)]² dy (khó dùng khi ngược hàm phức tạp).

Phương pháp vỏ trụ (shell method): V = 2π∫ x · f(x) dx — nhiều học sinh quên hệ số 2π hoặc nhầm với công thức quay quanh Ox.

4. Không kiểm tra dấu của f(x) khi tính diện tích:

Nếu hàm đổi dấu trên đoạn tích phân mà lười lấy giá trị tuyệt đối, kết quả diện tích sẽ sai. Ở bài này f(x) ≥ 0 nên diện tích bằng tích phân, nhưng thói quen kiểm tra luôn là cần thiết.

5. Sai giá trị arctan(1):

arctan(1) = π/4, không phải 1. Đây là lỗi phổ biến khi học sinh nhầm lẫn giữa độ và radian hoặc quên giá trị lượng giác cơ bản.

Bài tập Luyện tập

1. Tính tích phân: ∫₀ᵉ x² · ln(x) dx

→ Lời giải: Đặt u = ln(x), dv = x² dx → du = dx/x, v = x³/3. Ta có: ∫ x² ln(x) dx = (x³/3)ln(x) − x³/9. Tính từ 0 đến e: [(e³/3)·1 − e³/9] − [0 − 0] = e³/9. Đáp án: e³/9.

 

2. Tính tích phân: ∫₀¹ arctan(x) dx

→ Lời giải: Đặt u = arctan(x), dv = dx → du = dx/(1+x²), v = x. Ta có: x·arctan(x) − (1/2)ln(1+x²) tính từ 0 đến 1: (π/4 − ln2/2) − (0 − 0). Đáp án: π/4 − (ln2)/2.

 

3. Tính tích phân: ∫₀¹ x/(1 + x²) dx

→ Lời giải: Đặt t = 1 + x², dt = 2x dx. Khi x = 0, t = 1; x = 1, t = 2. Tích phân = (1/2)∫₁² dt/t = (1/2)ln|t|₁² = (1/2)ln2. Đáp án: (ln2)/2.

 

4. Tính tích phân: ∫₀^{π/2} x · cos(x) dx

→ Lời giải: Đặt u = x, dv = cos(x) dx → du = dx, v = sin(x). Ta có: x·sin(x) + cos(x) tính từ 0 đến π/2: (π/2 · 1 + 0) − (0 + 1) = π/2 − 1. Đáp án: π/2 − 1.

 

5. Tính tích phân: ∫₀¹ x²/(1 + x²) dx

→ Lời giải: Biến đổi: x²/(1+x²) = 1 − 1/(1+x²). Vậy tích phân = ∫₀¹ 1 dx − ∫₀¹ 1/(1+x²) dx = [x]₀¹ − [arctan(x)]₀¹ = 1 − π/4. Đáp án: 1 − π/4.

Phân tích Đề bài

Đề bài đưa ra hàm số f(x) = x²·√(4 − x²) trên đoạn [0; 2], yêu cầu ba phần chính:

• Phần a: Tính tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến lượng giác — đòi hỏi học sinh nhận diện rằng biểu thức √(4 − x²) gợi ý phép đặt x = 2sin(t).
• Phần b: Tính diện tích hình phẳng. Vì f(x) ≥ 0 trên toàn đoạn [0; 2] (do x² ≥ 0 và √(4 − x²) ≥ 0), diện tích chính bằng giá trị tích phân đã tính ở phần a.
• Phần c: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Oy — đây là điểm đặc biệt của bài, vì phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells) sẽ thuận tiện hơn phương pháp đĩa.

Các khái niệm liên quan

• Tích phân xác định: Là công cụ tính diện tích, thể tích và nhiều đại lượng tích lũy khác. Định lý cơ bản của giải tích cho phép tính tích phân thông qua hàm nguyên hàm.
• Phép đổi biến lượng giác: Khi gặp √(a² − x²), ta đặt x = a·sin(t) để khử căn thức, sử dụng hằng thức sin²t + cos²t = 1.
• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy bằng phương pháp vỏ trụ: V = 2π∫ₐᵇ x·f(x) dx, trong đó f(x) ≥ 0 trên [a; b].

Lưu ý: Hàm số f(x) = x²·√(4 − x²) liên tục trên [0; 2], không âm tại mọi điểm, nên diện tích và tích phân trùng nhau. Đây là đặc điểm quan trọng giúp bài toán đơn giản hơn phần b.

Phương pháp Giải

Phần a: Tích phân bằng đổi biến lượng giác

Chiến lược: Xuất hiện biểu thức √(4 − x²) = √(2² − x²), ta sử dụng phép đặt x = 2sin(t). Khi đó:

• √(4 − x²) = 2cos(t)
• dx = 2cos(t) dt
• Cận dưới: x = 0 → t = 0
• Cận trên: x = 2 → t = π/2

Tại sao dùng phương pháp này? Vì phép đổi biến lượng giác chuyển đổi căn thức thành biểu thức lượng giác đơn giản, cho phép khai thác các công thức góc nhân đôi để tích phân dễ dàng.

Phần b: Diện tích hình phẳng

Do f(x) ≥ 0 trên [0; 2], ta có: S = ∫₀² f(x) dx = I (kết quả phần a).

Phần c: Thể tích khối tròn xoay quanh Oy

Chiến lược: Dùng công thức vỏ trụ trụ (cylindrical shells): V = 2π∫₀² x·f(x) dx = 2π∫₀² x³√(4 − x²) dx.

Tại sao dùng phương pháp vỏ trụ? Vì quay quanh trục Oy, nếu dùng phương pháp đĩa/washer ta phải biểu diễn x = g(y) — rất phức tạp với hàm này. Phương pháp vỏ trụ cho phép giữ nguyên biến x và tính tích phân trực tiếp. Để tính ∫x³√(4−x²) dx, ta đổi biến u = 4 − x².

Lời giải chi tiết từng bước

Phần a) Tính I = ∑₀² x²√(4 − x²) dx

Bước 1: Đặt x = 2sin(t)

Ta có: dx = 2cos(t) dt; √(4 − x²) = √(4 − 4sin²t) = 2cos(t) (với t ∈ [0; π/2] nên cos(t) ≥ 0).

Bước 2: Đổi cận

• x = 0 → t = 0
• x = 2 → t = π/2

Bước 3: Biến đổi tích phân

I = ∫₀^{π/2} (2sin(t))² · 2cos(t) · 2cos(t) dt = ∫₀^{π/2} 4sin²(t) · 4cos²(t) dt = 16 ∫₀^{π/2} sin²(t)cos²(t) dt

Bước 4: Sử dụng công thức góc nhân đôi

sin(t)cos(t) = sin(2t)/2, nên sin²(t)cos²(t) = sin²(2t)/4.

I = 16 · (1/4) ∫₀^{π/2} sin²(2t) dt = 4 ∫₀^{π/2} sin²(2t) dt

Áp dụng sin²(2t) = (1 − cos(4t))/2:

I = 4 ∫₀^{π/2} (1 − cos(4t))/2 dt = 2 ∫₀^{π/2} (1 − cos(4t)) dt

Bước 5: Tính tích phân

I = 2 [t − sin(4t)/4]₀^{π/2} = 2 [(π/2 − sin(2π)/4) − (0 − 0)] = 2 · π/2 = π

Vậy I = π ≈ 3,14159.

Phần b) Diện tích hình phẳng

Trên đoạn [0; 2], ta có x² ≥ 0 và √(4 − x²) ≥ 0, nên f(x) ≥ 0. Do đó:

S = ∫₀² |f(x)| dx = ∫₀² f(x) dx = I = π (đvdt)

Phần c) Thể tích khối tròn xoay quanh Oy

Bước 1: Áp dụng công thức vỏ trụ

V = 2π ∫₀² x · f(x) dx = 2π ∫₀² x · x²√(4 − x²) dx = 2π ∫₀² x³√(4 − x²) dx

Bước 2: Đổi biến u = 4 − x²

• du = −2x dx, nên x dx = −du/2
• x² = 4 − u
• Cận: x = 0 → u = 4; x = 2 → u = 0

Khi đó:

∫₀² x³√(4 − x²) dx = ∫₀² x² · √(4 − x²) · x dx = ∫₄⁰ (4 − u) · √u · (−du/2)

= (1/2) ∫₀⁴ (4 − u) · u^{1/2} du = (1/2) ∫₀⁴ (4u^{1/2} − u^{3/2}) du

Bước 3: Tính từng tích phân

(1/2) [4 · (2/3)u^{3/2} − (2/5)u^{5/2}]₀⁴ = (1/2) [(8/3) · 4^{3/2} − (2/5) · 4^{5/2}]

4^{3/2} = 8; 4^{5/2} = 32

= (1/2) [64/3 − 64/5] = (1/2) · 64 · (5 − 3)/15 = (1/2) · 64 · (2/15) = 64/15

Bước 4: Kết luận

V = 2π · 64/15 = 128π/15 (đvtt)

Vậy thể tích khối tròn xoay là 128π/15 ≈ 26,81 (đơn vị thể tích).

Tóm tắt đáp số:
– I = π
– S = π
– V = 128π/15

Cách Giải Khác

Phần a: Dùng trực tiếp phép đặt u = 4 − x²

Ta cũng có thể thử đặt u = 4 − x², tuy nhiên biểu thức x² = 4 − u sẽ dẫn đến tích phân dạng ∫(4 − u)√u · du, nhưng liên quan đến x dx chứ không đơn giản. Cách này chỉ áp dụng trực tiếp được khi tích phân có dạng x·√(4−x²) chứ không phải x²·√(4−x²). Do đó, phép đổi biến lượng giác vẫn là phương pháp tối ưu cho phần a.

Phần c: Phương pháp đĩa (washer method) theo trục Oy

Nếu dùng phương pháp đĩa, ta cần giải phương trình y = x²√(4−x²) để tìm x theo y — việc này không thực hiện được một cách tường minh vì hàm số không đơn ánh trên [0; 2]. Phải chia thành hai nhánh (trên [0; √2] hàm tăng, trên [√2; 2] hàm giảm), dẫn đến hai tích phân phức tạp. Phương pháp vỏ trụ rõ ràng vượt trội hơn trong trường hợp này.

So sánh

• Đổi biến lượng giác: Luôn hiệu quả cho √(a²−x²), cho kết quả chính xác và gọn gàng.
• Vỏ trụ cho quay quanh Oy: Tránh phải đảo hàm, giảm đáng kể độ phức tạp tính toán.
• Đĩa/Washer: Phù hợp hơn khi quay quanh trục Ox hoặc khi hàm dễ đảo.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên đổi cận khi đổi biến: Đây là lỗi phổ biến nhất. Khi đặt x = 2sin(t), học sinh thường quên đổi cận từ x sang t, hoặc đổi sai. Nếu không đổi cận, phải thay lại x trước khi thay số. Hãy luôn kiểm tra: x = 0 → t = ? và x = 2 → t = ?

2. Sai dấu khi khai triển √(4−x²): Một số bạn viết √(4−x²) = −2cos(t), gây ra sai lầm nghiêm trọng. Vì t ∈ [0; π/2] nên cos(t) ≥ 0, do đó √(4−x²) = 2cos(t) (không có dấu trừ).

3. Nhầm công thức thể tích quay quanh Oy: Nhiều học sinh áp nhầm công thức quay quanh Ox (V = π∫y² dx) khi đề yêu cầu quay quanh Oy. Quay quanh Ox dùng đĩa; quay quanh Oy dùng vỏ trụ.

4. Tính sai x³√(4−x²) khi đổi biến: Khi tách x³ = x² · x, cần biểu diễn x² = 4 − u cho chính xác. Lỗi thường gặp là viết nhầm x² = u hoặc quên nhân thêm x dx = −du/2.

5. Chưa xét dấu f(x) khi tính diện tích: Ở phần b, vì f(x) ≥ 0 trên toàn đoạn nên diện tích = tích phân. Nếu hàm đổi dấu, phải tách tích phân theo các nghiệm của f(x) = 0 và lấy giá trị tuyệt đối từng phần. Đây là bẫy thường gặp ở các bài phức tạp hơn.

6. Sai công thức sin²(2t):** Một số bạn nhầm sin²(2t) = sin(4t) thay vì sin²(2t) = (1 − cos(4t))/2. Cần nhớ chính xác các công thức hạ bậc.

Mẹo quan trọng: Sau khi tính xong tích phân, nên kiểm tra nhanh bằng cách ước lượng. Ví dụ, f(x) = x²√(4−x²) có max khoảng 2 tại x ≈ 1,5. Trên đoạn [0; 2] dài 2 đơn vị, diện tích ≈ trung bình · 2 ≈ π — hoàn toàn hợp lý!

Bài tập Luyện tập

1. Tính tích phân: ∫₀¹ x√(1 + x²) dx

Lời giải: Đặt u = 1 + x², du = 2x dx. Khi x = 0 → u = 1; x = 1 → u = 2. Vậy I = (1/2)∫₁² √u du = (1/2)·(2/3)·u^{3/2}|₁² = (1/3)(2√2 − 1). Đáp án: (2√2 − 1)/3.

2. Tính tích phân: ∫₀^{π} sin²x·cos²x dx

Lời giải: sin²x·cos²x = sin²(2x)/4 = (1 − cos(4x))/8. Vậy I = ∫₀^{π} (1 − cos(4x))/8 dx = (1/8)[x − sin(4x)/4]₀^{π} = π/8. Đáp án: π/8.

3. Tính tích phân: ∫₁³ x√(x − 1) dx

Lời giải: Đặt t = √(x − 1), x = t² + 1, dx = 2t dt. Cận: x = 1 → t = 0; x = 3 → t = √2. I = ∫₀^{√2} (t² + 1)·t·2t dt = 2∫₀^{√2} (t⁴ + t²) dt = 2[t⁵/5 + t³/3]₀^{√2} = 2(4√2/5 + 2√2/3) = 44√2/15. Đáp án: 44√2/15.

4. Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng d: y = 2x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d, rồi tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.

Lời giải: Hoành độ giao điểm: x² = 2x → x = 0 hoặc x = 2. Trên [0; 2]: 2x ≥ x² nên S = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3. Thể tích: V = π∫₀² [(2x)² − (x²)²] dx = π∫₀² (4x² − x⁴) dx = π[4x³/3 − x⁵/5]₀² = π(32/3 − 32/5) = 64π/15. Đáp án: S = 4/3; V = 64π/15.

5. Tính tích phân: ∫₀^{π/2} sin³x·cos x dx

Lời giải: Nhận thấy nguyên hàm của sin³x·cos x là sin⁴x/4 (vì đạo hàm sin⁴x/4 = sin³x·cos x). Vậy I = [sin⁴x/4]₀^{π/2} = 1/4 − 0 = 1/4.