Cho hàm số f(x) = x²·√(4 − x²) trên đoạn [0; 2]. a) Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx bằng phương pháp đổi biến lượng giác. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và đường thẳng x = 2. c) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng nói trên quanh trục Oy.

Phân tích Đề bài

Đề bài đưa ra hàm số f(x) = x²·√(4 − x²) trên đoạn [0; 2], yêu cầu ba phần chính:

• Phần a: Tính tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến lượng giác — đòi hỏi học sinh nhận diện rằng biểu thức √(4 − x²) gợi ý phép đặt x = 2sin(t).
• Phần b: Tính diện tích hình phẳng. Vì f(x) ≥ 0 trên toàn đoạn [0; 2] (do x² ≥ 0 và √(4 − x²) ≥ 0), diện tích chính bằng giá trị tích phân đã tính ở phần a.
• Phần c: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Oy — đây là điểm đặc biệt của bài, vì phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells) sẽ thuận tiện hơn phương pháp đĩa.

Các khái niệm liên quan

• Tích phân xác định: Là công cụ tính diện tích, thể tích và nhiều đại lượng tích lũy khác. Định lý cơ bản của giải tích cho phép tính tích phân thông qua hàm nguyên hàm.
• Phép đổi biến lượng giác: Khi gặp √(a² − x²), ta đặt x = a·sin(t) để khử căn thức, sử dụng hằng thức sin²t + cos²t = 1.
• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy bằng phương pháp vỏ trụ: V = 2π∫ₐᵇ x·f(x) dx, trong đó f(x) ≥ 0 trên [a; b].

Lưu ý: Hàm số f(x) = x²·√(4 − x²) liên tục trên [0; 2], không âm tại mọi điểm, nên diện tích và tích phân trùng nhau. Đây là đặc điểm quan trọng giúp bài toán đơn giản hơn phần b.

Phương pháp Giải

Phần a: Tích phân bằng đổi biến lượng giác

Chiến lược: Xuất hiện biểu thức √(4 − x²) = √(2² − x²), ta sử dụng phép đặt x = 2sin(t). Khi đó:

• √(4 − x²) = 2cos(t)
• dx = 2cos(t) dt
• Cận dưới: x = 0 → t = 0
• Cận trên: x = 2 → t = π/2

Tại sao dùng phương pháp này? Vì phép đổi biến lượng giác chuyển đổi căn thức thành biểu thức lượng giác đơn giản, cho phép khai thác các công thức góc nhân đôi để tích phân dễ dàng.

Phần b: Diện tích hình phẳng

Do f(x) ≥ 0 trên [0; 2], ta có: S = ∫₀² f(x) dx = I (kết quả phần a).

Phần c: Thể tích khối tròn xoay quanh Oy

Chiến lược: Dùng công thức vỏ trụ trụ (cylindrical shells): V = 2π∫₀² x·f(x) dx = 2π∫₀² x³√(4 − x²) dx.

Tại sao dùng phương pháp vỏ trụ? Vì quay quanh trục Oy, nếu dùng phương pháp đĩa/washer ta phải biểu diễn x = g(y) — rất phức tạp với hàm này. Phương pháp vỏ trụ cho phép giữ nguyên biến x và tính tích phân trực tiếp. Để tính ∫x³√(4−x²) dx, ta đổi biến u = 4 − x².

Lời giải chi tiết từng bước

Phần a) Tính I = ∑₀² x²√(4 − x²) dx

Bước 1: Đặt x = 2sin(t)

Ta có: dx = 2cos(t) dt; √(4 − x²) = √(4 − 4sin²t) = 2cos(t) (với t ∈ [0; π/2] nên cos(t) ≥ 0).

Bước 2: Đổi cận

• x = 0 → t = 0
• x = 2 → t = π/2

Bước 3: Biến đổi tích phân

I = ∫₀^{π/2} (2sin(t))² · 2cos(t) · 2cos(t) dt = ∫₀^{π/2} 4sin²(t) · 4cos²(t) dt = 16 ∫₀^{π/2} sin²(t)cos²(t) dt

Bước 4: Sử dụng công thức góc nhân đôi

sin(t)cos(t) = sin(2t)/2, nên sin²(t)cos²(t) = sin²(2t)/4.

I = 16 · (1/4) ∫₀^{π/2} sin²(2t) dt = 4 ∫₀^{π/2} sin²(2t) dt

Áp dụng sin²(2t) = (1 − cos(4t))/2:

I = 4 ∫₀^{π/2} (1 − cos(4t))/2 dt = 2 ∫₀^{π/2} (1 − cos(4t)) dt

Bước 5: Tính tích phân

I = 2 [t − sin(4t)/4]₀^{π/2} = 2 [(π/2 − sin(2π)/4) − (0 − 0)] = 2 · π/2 = π

Vậy I = π ≈ 3,14159.

Phần b) Diện tích hình phẳng

Trên đoạn [0; 2], ta có x² ≥ 0 và √(4 − x²) ≥ 0, nên f(x) ≥ 0. Do đó:

S = ∫₀² |f(x)| dx = ∫₀² f(x) dx = I = π (đvdt)

Phần c) Thể tích khối tròn xoay quanh Oy

Bước 1: Áp dụng công thức vỏ trụ

V = 2π ∫₀² x · f(x) dx = 2π ∫₀² x · x²√(4 − x²) dx = 2π ∫₀² x³√(4 − x²) dx

Bước 2: Đổi biến u = 4 − x²

• du = −2x dx, nên x dx = −du/2
• x² = 4 − u
• Cận: x = 0 → u = 4; x = 2 → u = 0

Khi đó:

∫₀² x³√(4 − x²) dx = ∫₀² x² · √(4 − x²) · x dx = ∫₄⁰ (4 − u) · √u · (−du/2)

= (1/2) ∫₀⁴ (4 − u) · u^{1/2} du = (1/2) ∫₀⁴ (4u^{1/2} − u^{3/2}) du

Bước 3: Tính từng tích phân

(1/2) [4 · (2/3)u^{3/2} − (2/5)u^{5/2}]₀⁴ = (1/2) [(8/3) · 4^{3/2} − (2/5) · 4^{5/2}]

4^{3/2} = 8; 4^{5/2} = 32

= (1/2) [64/3 − 64/5] = (1/2) · 64 · (5 − 3)/15 = (1/2) · 64 · (2/15) = 64/15

Bước 4: Kết luận

V = 2π · 64/15 = 128π/15 (đvtt)

Vậy thể tích khối tròn xoay là 128π/15 ≈ 26,81 (đơn vị thể tích).

Tóm tắt đáp số:
– I = π
– S = π
– V = 128π/15

Cách Giải Khác

Phần a: Dùng trực tiếp phép đặt u = 4 − x²

Ta cũng có thể thử đặt u = 4 − x², tuy nhiên biểu thức x² = 4 − u sẽ dẫn đến tích phân dạng ∫(4 − u)√u · du, nhưng liên quan đến x dx chứ không đơn giản. Cách này chỉ áp dụng trực tiếp được khi tích phân có dạng x·√(4−x²) chứ không phải x²·√(4−x²). Do đó, phép đổi biến lượng giác vẫn là phương pháp tối ưu cho phần a.

Phần c: Phương pháp đĩa (washer method) theo trục Oy

Nếu dùng phương pháp đĩa, ta cần giải phương trình y = x²√(4−x²) để tìm x theo y — việc này không thực hiện được một cách tường minh vì hàm số không đơn ánh trên [0; 2]. Phải chia thành hai nhánh (trên [0; √2] hàm tăng, trên [√2; 2] hàm giảm), dẫn đến hai tích phân phức tạp. Phương pháp vỏ trụ rõ ràng vượt trội hơn trong trường hợp này.

So sánh

• Đổi biến lượng giác: Luôn hiệu quả cho √(a²−x²), cho kết quả chính xác và gọn gàng.
• Vỏ trụ cho quay quanh Oy: Tránh phải đảo hàm, giảm đáng kể độ phức tạp tính toán.
• Đĩa/Washer: Phù hợp hơn khi quay quanh trục Ox hoặc khi hàm dễ đảo.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên đổi cận khi đổi biến: Đây là lỗi phổ biến nhất. Khi đặt x = 2sin(t), học sinh thường quên đổi cận từ x sang t, hoặc đổi sai. Nếu không đổi cận, phải thay lại x trước khi thay số. Hãy luôn kiểm tra: x = 0 → t = ? và x = 2 → t = ?

2. Sai dấu khi khai triển √(4−x²): Một số bạn viết √(4−x²) = −2cos(t), gây ra sai lầm nghiêm trọng. Vì t ∈ [0; π/2] nên cos(t) ≥ 0, do đó √(4−x²) = 2cos(t) (không có dấu trừ).

3. Nhầm công thức thể tích quay quanh Oy: Nhiều học sinh áp nhầm công thức quay quanh Ox (V = π∫y² dx) khi đề yêu cầu quay quanh Oy. Quay quanh Ox dùng đĩa; quay quanh Oy dùng vỏ trụ.

4. Tính sai x³√(4−x²) khi đổi biến: Khi tách x³ = x² · x, cần biểu diễn x² = 4 − u cho chính xác. Lỗi thường gặp là viết nhầm x² = u hoặc quên nhân thêm x dx = −du/2.

5. Chưa xét dấu f(x) khi tính diện tích: Ở phần b, vì f(x) ≥ 0 trên toàn đoạn nên diện tích = tích phân. Nếu hàm đổi dấu, phải tách tích phân theo các nghiệm của f(x) = 0 và lấy giá trị tuyệt đối từng phần. Đây là bẫy thường gặp ở các bài phức tạp hơn.

6. Sai công thức sin²(2t):** Một số bạn nhầm sin²(2t) = sin(4t) thay vì sin²(2t) = (1 − cos(4t))/2. Cần nhớ chính xác các công thức hạ bậc.