Tác giả: admin

Chào mừng các em đến với bài học hôm nay! Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán tích phân tổng hợp liên quan đến hàm số lượng giác kết hợp đa thức. Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi THPT quốc gia và kỳ thi đại học, đòi hỏi sự thành thạo kỹ thuật tích phân từng phần.

Phân tích Đề bài

Cho hàm số f(x) = x·sin(x) trên đoạn [0; π].

Dữ kiện cho trước:

• Hàm số f(x) = x·sin(x), liên tục và khả vi trên [0; π].

• Trục hoành (y = 0).

• Hai đường thẳng biên: x = 0 và x = π.

Điều kiện:

Trên đoạn [0; π], ta có sin(x) ≥ 0 và x ≥ 0, do đó f(x) = x·sin(x) ≥ 0. Đồ thị hàm số nằm phía trên hoặc trên trục Ox.

Yêu cầu của bài toán:

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = 0, x = π.

2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng nói quanh trục Oy.

3. Tính giá trị trung bình của hàm số f trên đoạn [0; π].

Các khái niệm liên quan:

• Diện tích hình phẳng: Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b], thì diện tích S = ∫_a^b f(x)dx.

• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy (phương pháp vỏ trụ): V = 2π ∫_a^b x·f(x)dx.

• Giá trị trung bình: f_{trung bình} = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x)dx.

• Tích phân từng phần: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. Đây là phương pháp cốt lõi để giải bài toán này.

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận và chiến lược:

Bài toán liên quan đến tích phân của tích giữa hàm đa thức (x) và hàm lượng giác (sin x). Đây là dạng bài kinh điển đòi hỏi sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Lý do chọn phương pháp này là vì:

• Đa thức bậc 1 khi đạo hàm sẽ trở thành hằng số, giúp đơn giản hóa tích phân.

• Hàm sin x khi tích phân sẽ cho -cos x, vẫn là hàm lượng giác đơn giản.

• Với các tích phân bậc cao hơn (x²·sin x), ta áp dụng tích phân từng phần hai lần.

Quy tắc LIATE: Khi chọn u và dv trong tích phân từng phần, ưu tiên đặt u theo thứ tự: Logarit → Hàm lượng giác ngược → Đại số → Hàm lượng giác → Mũ. Trong bài này, đa thức x (đại số) được đặt làm u, sin(x)dx là dv.

Lời giải chi tiết từng bước:

Câu a: Tính diện tích hình phẳng

Bước 1: Xác định dấu của f(x) trên [0; π]

Vì x ∈ [0; π] nên x ≥ 0 và sin(x) ≥ 0. Do đó f(x) = x·sin(x) ≥ 0 trên toàn bộ đoạn [0; π].

Bước 2: Viết công thức diện tích

S = ∫₀^π x·sin(x) dx

Bước 3: Áp dụng tích phân từng phần

Đặt u = x, dv = sin(x)dx

→ du = dx, v = −cos(x)

Áp dụng công thức ∫ u dv = u·v − ∫ v du:

∫ x·sin(x) dx = −x·cos(x) − ∫ (−cos(x)) dx

= −x·cos(x) + ∫ cos(x) dx

= −x·cos(x) + sin(x) + C

Bước 4: Tính tích phân xác định

S = [−x·cos(x) + sin(x)]₀^π

= [−π·cos(π) + sin(π)] − [−0·cos(0) + sin(0)]

= [−π·(−1) + 0] − [0 + 0]

= π − 0

⟹ Diện tích S = π (đơn vị diện tích).

Bạn có thể kiểm tra nhanh bằng máy tính cầm tay ở chế độ tính tích phân. Kết quả π ≈ 3,14159 hoàn toàn hợp lý vì hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x·sin(x) và trục Ox trên [0; π] có dạng “vòm” với diện tích vừa phải.

Câu b: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Bước 1: Áp dụng công pháp vỏ trụ (Shell Method)

Khi quay quanh trục Oy, ta sử dụng phương pháp vỏ trụ:

V = 2π ∫₀^π x·f(x) dx = 2π ∫₀^π x²·sin(x) dx

Bước 2: Tính ∫ x²·sin(x) dx bằng tích phân từng phần hai lần

Lần 1: Đặt u = x², dv = sin(x)dx

→ du = 2x dx, v = −cos(x)

∫ x²·sin(x) dx = −x²·cos(x) + 2∫ x·cos(x) dx

Lần 2: Tính ∫ x·cos(x) dx. Đặt u = x, dv = cos(x)dx

→ du = dx, v = sin(x)

∫ x·cos(x) dx = x·sin(x) − ∫ sin(x) dx = x·sin(x) + cos(x)

Bước 3: Kết hợp kết quả

∫ x²·sin(x) dx = −x²·cos(x) + 2[x·sin(x) + cos(x)] + C

= −x²·cos(x) + 2x·sin(x) + 2cos(x) + C

Bước 4: Tính tích phân xác định

∫₀^π x²·sin(x) dx = [−x²·cos(x) + 2x·sin(x) + 2cos(x)]₀^π

Tại x = π: −π²·cos(π) + 2π·sin(π) + 2cos(π) = π² + 0 − 2 = π² − 2

Tại x = 0: −0 + 0 + 2cos(0) = 2

Vậy ∫₀^π x²·sin(x) dx = (π² − 2) − 2 = π² − 4

Bước 5: Nhân với 2π

V = 2π · (π² − 4) = 2π³ − 8π (đơn vị thể tích)

Nếu thay π ≈ 3,14 ta được V ≈ 2(31,006) − 25,133 ≈ 36,88 (đvtt). Giá trị dương xác nhận thể tích hợp lý.

Câu c: Tính giá trị trung bình

Công thức giá trị trung bình của hàm f trên [a; b]:

f_tb = (1/(b − a)) ∫_a^b f(x) dx

Áp dụng:

f_tb = (1/π) ∫₀^π x·sin(x) dx = (1/π) · π = 1

Ý nghĩa: Giá trị trung bình của hàm x·sin(x) trên [0; π] bằng 1. Điều này có nghĩa là nếu ta thay thế hàm f(x) bằng hằng số 1 trên đoạn [0; π], thì diện tích dưới hai đồ thị là bằng nhau.

Cách Giải Khác

1. Phương pháp số (tính gần đúng)

Sử dụng các phương pháp số như phương pháp hình thang (Trapezoidal Rule) hoặc phương pháp Simpson để tính gần đúng các tích phân. Ưu điểm là áp dụng được cho mọi hàm số, kể cả khi không tìm được nguyên hàm. Nhược điểm là chỉ cho kết quả xấp xỉ, không phải giá trị chính xác.

2. Phương pháp sử dụng số phức

Ta có thể viết sin(x) = Im(e^ix) (phần ảo của e^ix), do đó:

∫ x·sin(x) dx = Im [∫ x·e^ix dx]

Tích phân ∫ x·e^ix dx dễ dàng tính bằng tích phân từng phần một lần, sau đó lấy phần ảo. Phương pháp này gọn gàng hơn khi làm việc với các tích phân dạng ∫ xⁿ·e^ax·sin(bx) dx.

3. Phương pháp bảng (tabular integration)

Đây là phiên bản rút gọn của tích phân từng phần, đặc biệt hiệu quả khi một hàm trở thành 0 sau khi đạo hàm nhiều lần (ví dụ: đa thức). Bảng gồm hai cột: cột đạo hàm (x → 1 → 0) và cột tích phân (sin x → -cos x → -sin x). Nhân chéo với dấu xen kẽ (+, −) để có kết quả ngay.

So sánh: Phương pháp tích phân từng phần là phương pháp cơ bản, phổ biến nhất và phù hợp nhất để trình bày trong bài thi. Phương pháp bảng nhanh hơn nhưng đòi hỏi sự thành thạo. Phương pháp số phù hợp khi cần kết quả nhanh mà không cần giá trị chính xác.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Sai khi chọn u và dv trong tích phân từng phần:

• Nếu đặt u = sin(x) và dv = x dx, ta được v = x²/2, và tích phân mới ∫ (x²/2)·cos(x) dx phức tạp hơn tích phân ban đầu. Sai lầm này khiến bài toán trở nên rắc rối hơn.

2. Quên đổi dấu khi tích phân từng phần:

• Phép tính ∫ u dv = u·v − ∫ v du rất dễ sai ở dấu trừ. Học sinh thường quên dấu trừ hoặc đặt sai dấu trong các bước sau đó.

3. Không xác định dấu của f(x) trước khi tính diện tích:

• Nếu f(x) đổi dấu trên [a; b], ta phải tách tích phân thành các đoạn f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0, rồi lấy giá trị tuyệt đối. Ở bài này, f(x) ≥ 0 trên [0; π] nên không cần tách, nhưng ở các bài khác cần cẩn thận.

4. Nhầm lẫn công pháp khi quay quanh trục Oy:

• Quay quanh Ox dùng đĩa: V = π ∫ y² dx.

• Quay quanh Oy dùng vỏ trụ: V = 2π ∫ x·f(x) dx.

• Nhiều học sinh nhầm lẫn hai công thức này, dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.

5. Sai khi tính giá trị lượng giác tại biên:

• cos(π) = −1 (không phải 1), sin(π) = 0, cos(0) = 1. Sai số ở bước “nhẹ tay” này khiến cả bài sai.

6. Quên nhân với 2π khi dùng phương pháp vỏ trụ:

• V = 2π ∫ x·f(x) dx, không phải π ∫ x·f(x) dx hay ∫ x·f(x) dx. Yếu tố 2π có nguồn gốc từ chu vi đường tròn (2πr).

Bài tập Luyện tập

Dưới đây là 5 bài tập có cấu trúc tương tự để các em luyện tập. Lưu ý áp dụng đúng phương pháp tích phân từng phần và cẩn thận với các phép tính lượng giác.

1. Bài 1: Tính I = ∫₀^π x·cos(x) dx

Lời giải: Đặt u = x, dv = cos(x)dx → du = dx, v = sin(x).

I = [x·sin(x)]₀^π − ∫₀^π sin(x) dx = 0 + [cos(x)]₀^π = (−1) − (1) = −2.

2. Bài 2: Tính I = ∫₀^π/2 x²·cos(x) dx

Lời giải: Tích phân từng phần hai lần.

Lần 1: u = x², dv = cos(x)dx → I = x²·sin(x) − 2∫ x·sin(x) dx

Lần 2: ∫ x·sin(x) dx = −x·cos(x) + sin(x)

I = [x²·sin(x) + 2x·cos(x) − 2sin(x)]₀^π/2 = (π²/4 · 1 + 0 − 2) − (0 + 0 − 0) = π²/4 − 2.

3. Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x·sin(x) và trục Ox trên đoạn [π; 2π].

Lời giải: Trên [π; 2π], ta có sin(x) ≤ 0 và x > 0 nên f(x) ≤ 0. Diện tích:

S = −∫_π^2π x·sin(x) dx = −[−x·cos(x) + sin(x)]_π^2π

= −[(−2π·1 + 0) − (−π·(−1) + 0)] = −[−2π − π] = 3π.

4. Bài 4: Tính giá trị trung bình của hàm số f(x) = x²·sin(x) trên đoạn [0; π].

Lời giải: f_tb = (1/π) ∫₀^π x²·sin(x) dx.

Từ kết quả tích phân từng phần hai lần: ∫ x²·sin(x) dx = −x²·cos(x) + 2x·sin(x) + 2cos(x).

∫₀^π x²·sin(x) dx = (π² − 2) − 2 = π² − 4.

⟹ f_tb = (π² − 4)/π = π − 4/π.

5. Bài 5: Tính I = ∫₀^π/2 x·sin(2x) dx.

Lời giải: Đặt u = x, dv = sin(2x)dx → du = dx, v = −cos(2x)/2.

I = [−x·cos(2x)/2]₀^π/2 + (1/2)∫₀^π/2 cos(2x) dx

= [−(π/2)·(−1)/2 − 0] + (1/2)·[sin(2x)/2]₀^π/2

= π/4 + (1/4)[sin(π) − sin(0)] = π/4 + 0 = π/4.

Ghi nhớ: Khi gặp tích phân chứa tích của đa thức và hàm lượng giác, tích phân từng phần là phương pháp hàng đầu. Chọn đa thức làm u (để giảm bậc qua đạo hàm) và hàm lượng giác làm dv (để tích phân dễ dàng). Bài tập thường xuyên sẽ giúp các em thành thạo kỹ năng này!

Phân tích Đề bài

Đề bài đưa ra hàm số f(x) = (x² − 2x)·eˣ trên đoạn [0; 2] và yêu cầu ba phần chính:

• Phần a: Chứng minh f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ [0; 2]. Đây là bước phân tích dấu của hàm số để xác định hình phẳng nằm bên dưới trục Ox.
• Phần b: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox. Vì f(x) ≤ 0, ta cần lấy giá trị tuyệt đối khi tích phân.
• Phần c: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy — sử dụng phương pháp vỏ trụ (phương pháp cylindrical shell).

Các khái niệm liên quan:

• Phân tích dấu hàm số: Ta phân tích f(x) = x(x − 2)·eˣ. Trên [0; 2], ta có x ≥ 0, (x − 2) ≤ 0, và eˣ > 0 với mọi x, nên tích f(x) ≤ 0.
• Diện tích hình phẳng: Khi đồ thị nằm dưới trục Ox, diện tích được tính bằng S = −∫₀² f(x) dx = ∫₀² |f(x)| dx.
• Tích phân từng phần (Integration by Parts): Công thức ∫u dv = uv − ∫v du, hoặc sử dụng công thức tổng quát ∫P(x)·eˣ dx = eˣ[P(x) − P'(x) + P”(x) − …] khi P(x) là đa thức.
• Thể tích quay quanh trục Oy bằng phương pháp vỏ trụ: V = 2π ∫ₐᵇ x·|f(x)| dx.

📌 Gợi ý đồ thị: Hình phẳng được giới hạn bởi parabol bậc hai nhân với hàm mũ eˣ, có đồ thị hoàn toàn nằm dưới trục Ox trên đoạn [0; 2], cắt trục hoành tại x = 0 và x = 2. [IMAGE: Đồ thị hàm số f(x) = (x² − 2x)eˣ, thể hiện phần tô đậm giới hạn bởi đồ thị và trục Ox trên [0; 2]]

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận:

Với phần a, ta phân tích nhân tử để xét dấu. Với phần b, ta sử dụng công thức tích phân từng phần dạng đa thức nhân eˣ. Với phần c, ta áp dụng phương pháp vỏ trụ vì quay quanh trục Oy.

Tại sao dùng phương pháp này:

• Công thức ∫P(x)·eˣ dx = eˣ[P − P’ + P” − …] giúp tính nhanh mà không cần thực hiện nhiều lần tích phân từng phần.
• Phương pháp vỏ trụ tiện lợi khi quay quanh Oy, tránh phải đổi biến x = g(y).

Lời giải chi tiết:

Phần a: Chứng minh f(x) ≤ 0 trên [0; 2]

Ta có f(x) = x(x − 2)·eˣ.

Trên đoạn [0; 2]:

• x ≥ 0 (vì x ∈ [0; 2])
• x − 2 ≤ 0 (vì x ≤ 2)
• eˣ > 0 (với mọi x ∈ ℝ)

Do đó tích x · (x − 2) · eˣ ≤ 0, tức f(x) ≤ 0 trên [0; 2]. Dấu “=” xảy ra khi x = 0 hoặc x = 2. ∎

Phần b: Tính diện tích hình phẳng

Diện tích cần tìm:

S = ∫₀² |f(x)| dx = −∫₀² (x² − 2x)·eˣ dx = ∫₀² (2x − x²)·eˣ dx

Áp dụng công thức ∫P(x)·eˣ dx với P(x) = 2x − x²:

• P(x) = 2x − x²
• P'(x) = 2 − 2x
• P”(x) = −2
• P”'(x) = 0 (dừng)

Suy ra: ∫(2x − x²)·eˣ dx = eˣ[(2x − x²) − (2 − 2x) + (−2)] + C

= eˣ[2x − x² − 2 + 2x − 2] + C

= −eˣ(x² − 4x + 4) + C = −eˣ(x − 2)² + C

Tính giá trị từ 0 đến 2:

S = [−eˣ(x − 2)²]₀² = [−e² · (0)²] − [−e⁰ · (0 − 2)²] = 0 − (−1 · 4) = 4 (đvdt)

💡 Kiểm tra: Diện tích dương (bằng 4), phù hợp vì hình phẳng nằm bên dưới trục Ox. Giá trị eˣ tại x = 0 bằng 1 nên phép tính gọn hơn rất nhiều. [IMAGE: Hình tô đậm biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi f(x) và trục Ox, với các giới hạn x = 0 và x = 2]

Phần c: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Sử dụng phương pháp vỏ trụ (shell method):

V = 2π ∫₀² x · |f(x)| dx = 2π ∫₀² x · (2x − x²) · eˣ dx = 2π ∫₀² (2x² − x³) · eˣ dx

Áp dụng công thức ∫P(x)·eˣ dx với P(x) = 2x² − x³:

• P(x) = 2x² − x³
• P'(x) = 4x − 3x²
• P”(x) = 4 − 6x
• P”'(x) = −6
• P””(x) = 0 (dừng)

Suy ra: ∫(2x² − x³)·eˣ dx = eˣ[P(x) − P'(x) + P”(x) − P”'(x)] + C

= eˣ[(2x² − x³) − (4x − 3x²) + (4 − 6x) − (−6)] + C

= eˣ[2x² − x³ − 4x + 3x² + 4 − 6x + 6] + C

= eˣ(−x³ + 5x² − 10x + 10) + C

Tính giá trị từ 0 đến 2:

Tại x = 2: e²(−8 + 20 − 20 + 10) = 2e²

Tại x = 0: e⁰(0 + 0 − 0 + 10) = 10

Vậy: ∫₀² (2x² − x³)·eˣ dx = 2e² − 10

V = 2π(2e² − 10) = 4π(e² − 5) (đvtt)

📊 Kết quả tổng kết: [IMAGE: Hình minh họa khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy, dùng phương pháp vỏ trụ. Trục quay là Oy, các vỏ trụ song song với Oy]

Cách Giải Khác

1. Tích phân từng phần trực tiếp (không dùng công thức thu gọn)

Thay vì sử dụng công thức ∫P(x)eˣ dx = eˣ[P − P’ + P” − …], ta có thể áp dụng tích phân từng phần nhiều lần.

Ứng dụng cho phần b: Tính ∫₀² (2x − x²)·eˣ dx

Lần 1: Đặt u = 2x − x², dv = eˣ dx → du = (2 − 2x)dx, v = eˣ

= [(2x − x²)eˣ]₀² − ∫₀² (2 − 2x)eˣ dx = 0 − ∫₀² (2 − 2x)eˣ dx

Lần 2: Đặt u = 2 − 2x, dv = eˣ dx → du = −2dx, v = eˣ

= −{[(2 − 2x)eˣ]₀² + 2∫₀² eˣ dx} = −{(−2e² − 2) + 2(e² − 1)} = −{−2e² − 2 + 2e² − 2} = 4 ✓

Ưu điểm	Nhược điểm
Phổ biến, quen thuộc với học sinh	Tốn thời gian, dễ sai khi tính nhiều bước

2. Phương pháp đổi biến cho phần c

Thay vì vỏ trụ, ta có thể dùng phương pháp đĩa/washer khi quay quanh Oy. Tuy nhiên, điều này yêu cầu biểu diễn x theo y từ phương trình y = (x² − 2x)eˣ — không khả thi vì hàm này không dễ đảo ngược. Do đó, phương pháp vỏ trụ là lựa chọn duy nhất hợp lý cho bài toán này.

⚠️ Lưu ý: Khi chọn phương pháp tính thể tích, luôn kiểm tra xem đồ thị có dễ biểu diễn ngược hay không. Nếu không, vỏ trụ thường là phương pháp tối ưu. [IMAGE: So sánh phương pháp đĩa (phải) và phương pháp vỏ trụ (trái) khi quay quanh Oy]

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính diện tích:

Nhiều học sinh tính trực tiếp ∫₀² f(x) dx thay vì ∫₀² |f(x)| dx. Vì f(x) ≤ 0 trên [0; 2], tích phân trực tiếp cho kết quả −4 (sai!). Diện tích phải luôn là số dương, ta cần lấy −∫₀² f(x) dx = 4.

2. Sai dấu khi áp dụng công thức thu gọn ∫P(x)eˣ dx:

Công thức là: eˣ[P(x) − P'(x) + P”(x) − P”'(x) + …]. Học sinh thường quên dấu trừ xen kẽ hoặc viết nhầm thành cộng toàn bộ. Hãy nhớ quy tắc: trừ, cộng, trừ, cộng,… khi đi từ đạo hàm bậc 1 trở đi.

3. Nhầm lẫn công thức vỏ trụ:

Công thức vỏ trụ quay quanh Oy là V = 2π∫ x·|f(x)| dx, không phải π∫ x²·|f(x)| dx. Bán kính của mỗi vỏ trụ là x (khoảng cách từ trục Oy), không phải x².

4. Sai miền tích phân:

Một số học sinh tìm sai miền tích phân bằng cách giải f(x) = 0 nhưng quên kiểm tra xem nghiệm có nằm trong [0; 2] hay không. Ở bài này, f(x) = 0 tại x = 0 và x = 2 — trùng với biên đoạn — nên không tạo thêm nghiệm bên trong.

💡 Mẹo ghi nhớ: Trước khi tính tích phân bất kỳ, hãy vẽ sơ đồ dấu của hàm số để xác định hàm dương hay âm trên miền cho trước. [IMAGE: Bảng xét dấu hàm f(x) = x(x−2)eˣ trên trục số, thể hiện dấu âm trên (0; 2)]

Bài tập Luyện tập

Dưới đây là 5 bài tập tương tự giúp bạn củng cố kiến thức về tích phân từng phần và ứng dụng của tích phân.

1. Tính tích phân: I = ∫₀¹ (3x² − 2x)·eˣ dx

→ Lời giải: Áp dụng công thức ∫P(x)eˣ dx với P(x) = 3x² − 2x, P'(x) = 6x − 2, P”(x) = 6:

I = [eˣ(3x² − 2x − 6x + 2 + 6)]₀¹ = [eˣ(3x² − 8x + 8)]₀¹ = e(3 − 8 + 8) − 1·8 = 3e − 8

2. Tính tích phân: I = ∫₀^π x·sin(x) dx

→ Lời giải: Tích phân từng phần: u = x, dv = sin(x)dx → du = dx, v = −cos(x)

I = [−x·cos(x)]₀^π + ∫₀^π cos(x) dx = π + [sin(x)]₀^π = π + 0 − 0 = π

3. Tính tích phân: I = ∫₁^e (x² − 1)·ln(x) dx

→ Lời giải: Tích phân từng phần: u = ln(x), dv = (x² − 1)dx

du = dx/x, v = x³/3 − x

I = [(x³/3 − x)·ln(x)]₁^e − ∫₁^e (x²/3 − 1) dx = (e³/3 − e) − [x³/9 − x]₁^e = (e³/3 − e) − (e³/9 − e − 1/9 + 1) = (2e³ − 8)/9

4. Tính tích phân: I = ∫₀¹ (x² + 1)·e^(−x) dx

→ Lời giải: Áp dụng ∫P(x)e^(−x) dx = −e^(−x)[P(x) + P'(x) + P”(x) + …] với P(x) = x² + 1, P'(x) = 2x, P”(x) = 2:

I = [−e^(−x)(x² + 2x + 3)]₀¹ = −e^(−1)·6 + 1·3 = 3 − 6/e

5. Tính tích phân: I = ∫₀^π x²·sin(x) dx

→ Lời giải: Tích phân từng phần hai lần: u = x², dv = sin(x)dx

I = [−x²·cos(x)]₀^π + 2∫₀^π x·cos(x) dx = π² + 2{[x·sin(x)]₀^π − ∫₀^π sin(x) dx} = π² + 2(0 − 2) = π² − 4 [IMAGE: Mẫu giải chi tiết từng bước tích phân từng phần cho bài tập luyện tập]

✅ Ghi nhớ quy trình giải bài toán tích phân tổng hợp: [IMAGE: Sơ đồ tư duy giải bài toán tích phân — từ phân tích đề → chọn phương pháp → tính toán → kiểm tra]

Phân tích Đề bài

Dữ kiện cho trước:

• Hàm số: f(x) = ln(x + 1), xác định trên đoạn [0; e − 1].
• Miền xét: x ∈ [0; e − 1], tương ứng với tập giá trị y ∈ [0; 1] vì f(0) = ln 1 = 0 và f(e−1) = ln e = 1.
• Hình phẳng cần xét giới hạn bởi: đồ thị y = ln(x+1), trục hoành (y = 0), đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = e − 1.

Yêu cầu của bài toán:

• Câu a: Tính diện tích hình phẳng H giới hạn nêu trên.
• Câu b: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Oy (trục tung).

Các khái niệm liên quan:

• Công thức tính diện tích hình phẳng: S = ∫[a→b] f(x) dx (khi f(x) ≥ 0 trên [a; b]).
• Phương pháp tích phân từng phần: ∫ u dv = u·v − ∫ v du, thường dùng khi tích phân chứa hàm logarit nhân với đa thức.
• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy: V = π ∫[c→d] x²(y) dy, trong đó x(y) là hàm biểu diễn x theo y.
• Phép đổi biến (đặt ẩn phụ) để chuyển đổi biểu thức tích phân cho phù hợp.

– Hình minh họa đồ thị y = ln(x+1) trên đoạn [0; e-1], hình phẳng giới hạn và trục tọa độ

Phương pháp Giải

Câu a: Tính diện tích hình phẳng

Chiến lược:

Ta nhận thấy hàm số f(x) = ln(x + 1) ≥ 0 trên toàn bộ đoạn [0; e − 1] vì x + 1 ≥ 1 ⇒ ln(x+1) ≥ 0. Do đó, diện tích được tính trực tiếp bằng công thức:

S = ∫₀^(e−1) ln(x + 1) dx

Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Lý do là vì hàm logarit không có nguyên hàm cơ bản đơn giản, nhưng đạo hàm của nó lại đơn giản (1/(x+1)), nên đặt u = ln(x+1) sẽ giúp biến đổi tích phân về dạng dễ tính hơn.

Lời giải chi tiết:

Đặt u = ln(x + 1) và dv = dx.

Khi đó: du = dx/(x + 1) và v = x.

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫ ln(x + 1) dx = x · ln(x + 1) − ∫ x/(x + 1) dx

Xét tích phân ∫ x/(x + 1) dx, ta biến đổi:

x/(x + 1) = (x + 1 − 1)/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1)

Suy ra: ∫ x/(x + 1) dx = ∫ [1 − 1/(x + 1)] dx = x − ln|x + 1| + C

Thay lại:

∫ ln(x + 1) dx = x · ln(x + 1) − x + ln(x + 1) + C = (x + 1) · ln(x + 1) − x + C

Tính giá trị xác định:

S = [(x + 1) · ln(x + 1) − x] |₀^(e−1)

Tại x = e − 1: (e − 1 + 1) · ln(e − 1 + 1) − (e − 1) = e · ln(e) − e + 1 = e · 1 − e + 1 = 1

Tại x = 0: (0 + 1) · ln(0 + 1) − 0 = 1 · ln(1) = 0

Vậy diện tích hình phẳng S = 1 − 0 = 1 (đvdt).

– Minh họa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = ln(x+1), trục Ox, x = 0 và x = e-1

Câu b: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Chiến lược:

Vì quay quanh trục Oy, ta cần biểu diễn x theo y. Khi quay quanh Oy, công thức thể tích là:

V = π ∫[c→d] x²(y) dy

Trong đó c và d là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của y trên miền đang xét.

Cách làm:

Từ y = ln(x + 1), suy ra x + 1 = e^y, tức là x = e^y − 1.

Khi x = 0 thì y = ln(1) = 0; khi x = e − 1 thì y = ln(e) = 1.

Vậy y chạy từ 0 đến 1.

Thể tích khối tròn xoay:

V = π ∫₀¹ (e^y − 1)² dy

Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân:

(e^y − 1)² = e^(2y) − 2e^y + 1

Do đó:

V = π ∫₀¹ [e^(2y) − 2e^y + 1] dy

= π [e^(2y)/2 − 2e^y + y] |₀¹

Tại y = 1: e²/2 − 2e + 1

Tại y = 0: e⁰/2 − 2e⁰ + 0 = 1/2 − 2 = −3/2

Suy ra:

V = π [(e²/2 − 2e + 1) − (−3/2)]

= π [e²/2 − 2e + 1 + 3/2]

= π [e²/2 − 2e + 5/2]

= π(e² − 4e + 5)/2

Kết quả: Thể tích khối tròn xoay V = π(e² − 4e + 5)/2 ≈ 2.38 (đvtt).

Kiểm tra nhanh: Ta có e² ≈ 7,389; 4e ≈ 10,873; nên e² − 4e + 5 ≈ 1,516. Vậy V ≈ π × 0,758 ≈ 2,38. Kết quả hợp lý vì hình phẳng có diện tích bằng 1 và nằm trong miền nhỏ.

– Minh họa khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy

Cách Giải Khác

1. Tính diện tích bằng phương pháp đổi biến

Thay vì tích phân từng phần, ta có thể đặt t = x + 1, suy ra dt = dx. Khi x = 0 thì t = 1; khi x = e − 1 thì t = e.

S = ∫₁^e ln(t) dt

Tích phân ∫ ln(t) dt là một nguyên hàm cơ bản:

∫ ln(t) dt = t · ln(t) − t + C

S = [t · ln(t) − t]₁^e = (e · 1 − e) − (1 · 0 − 1) = 0 − (−1) = 1

So sánh: Cách đổi biến nhanh hơn và gọn hơn vì đưa về nguyên hàm cơ bản của ln(t). Tuy nhiên, nhiều học sinh thường không nhận ra phép đổi biến này và chọn tích phân từng phần — dù vẫn cho kết quả đúng nhưng phải thực hiện nhiều bước hơn.

2. Tính thể tích bằng phương pháp vỏ trụ (phương pháp bao)

Ngoài công thức đĩa (dùng x(y)), ta có thể tính thể tích quay quanh Oy bằng phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells):

V = 2π ∫₀^(e−1) x · ln(x + 1) dx

Cách này đòi hỏi tích phân ∫ x · ln(x + 1) dx, phức tạp hơn so với phương pháp đĩa. Ta đặt u = ln(x + 1), dv = x dx, rồi tiếp tục tích phân từng phần. Kết quả cuối cùng vẫn cho V = π(e² − 4e + 5)/2, nhưng quá trình tính toán dài hơn đáng kể.

So sánh ưu nhược điểm:

• Phương pháp đĩa (đã dùng): Đơn giản, trực tiếp khi dễ dàng biểu diễn x theo y. Ưu việt khi hình phẳng có biểu thức x(y) thuận tiện.
• Phương pháp vỏ trụ: Có thể áp dụng khi không cần giải x theo y, nhưng tích phân thường phức tạp hơn. Phù hợp khi quay quanh trục Ox mà hàm x(y) khó khai triển.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên đổi cận khi đổi biến:

Nhiều học sinh đặt t = x + 1 để tính ∫ ln(x+1) dx nhưng quên đổi cận tích phân, dẫn đến kết quả sai. Khi đổi biến, cần thay lại cả cận dưới và cận trên cho phù hợp với biến mới.

2. Nhầm công thức thể tích quay quanh trục Oy:

Học sinh thường nhầm lẫn giữa công thức quay quanh Ox (V = π∫ y² dx) và quay quanh Oy (V = π∫ x² dy). Cần xác định rõ trục quay trước khi áp dụng công thức. Đặc biệt, khi quay quanh Oy, ta phải biểu diễn x theo y, không phải dùng trực tiếp hàm y = f(x).

3. Sai khi khai triển bình phương:

Khi tính (e^y − 1)², một số học sinh nhầm thành e^(2y) − 1 thay vì e^(2y) − 2e^y + 1. Hãy nhớ công thức (a − b)² = a² − 2ab + b² và áp dụng đầy đủ.

4. Xác định sai dấu của hàm số trên miền tích phân:

Trước khi tính diện tích bằng tích phân, cần kiểm tra xem f(x) có đổi dấu trên đoạn [a; b] hay không. Nếu f(x) < 0 ở một phần miền, diện tích phải lấy giá trị tuyệt đối: S = ∫ |f(x)| dx. Trong bài này, ln(x+1) ≥ 0 trên [0; e−1] nên không cần chia trường hợp.

5. Tính sai nguyên hàm của ln(x):

Nguyên hàm của ln(x) là x·ln(x) − x + C, không phải x·ln(x) hay ln(x)/x. Nên nhớ đây là kết quả từ tích phân từng phần với u = ln(x), dv = dx.

– Bảng tổng hợp các lỗi sai thường gặp khi tính tích phân hàm logarit

Bài tập Luyện tập

1. Tính tích phân: I = ∫₀¹ x · e^(3x) dx

Lời giải: Đặt u = x, dv = e^(3x)dx → du = dx, v = e^(3x)/3.

I = [xe^(3x)/3]₀¹ − ∫₀¹ e^(3x)/3 dx = e³/3 − [e^(3x)/9]₀¹ = e³/3 − e³/9 + 1/9 = (2e³ + 1)/9.

---

2. Tính tích phân: I = ∫₀^(π/2) x · sin(x) dx

Lời giải: Đặt u = x, dv = sin(x)dx → du = dx, v = −cos(x).

I = [−x·cos(x)]₀^(π/2) + ∫₀^(π/2) cos(x) dx = 0 + [sin(x)]₀^(π/2) = 1.

---

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x² và đường cong (C): y = √x.

Lời giải: Hoành độ giao điểm: x² = √x ⇒ x⁴ = x ⇒ x(x³ − 1) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 1.

Trên [0; 1], √x ≥ x² nên: S = ∫₀¹ (√x − x²) dx = [2x^(3/2)/3 − x³/3]₀¹ = 2/3 − 1/3 = 1/3 (đvdt).

---

4. Tính tích phân: I = ∫₁^e (ln x)³/x dx

Lời giải: Đặt t = ln x, dt = dx/x. Cận: x = 1 → t = 0; x = e → t = 1.

I = ∫₀¹ t³ dt = [t⁴/4]₀¹ = 1/4.

---

5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = √x, trục hoành và đường thẳng x = 4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.

Lời giải: Áp dụng công thức thể tích quanh Ox:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π · 8 = 8π (đvtt).

– Bài tập tổng hợp: minh họa các hình phẳng và khối tròn xoay trong bài luyện tập

Phân tích Đề bài

Dữ kiện cho trước và điều kiện

Cho hàm số bậc ba f(x) = x³ − 3x² + 2x trên tập số thực ℝ. Để giải quyết các câu hỏi đề bài, chúng ta cần thực hiện ba nhiệm vụ chính:

• Khảo sát sự biến thiên: tìm tập xác định, tính đạo hàm, xác định các khoảng đồng biến/nghịch biến, tìm cực trị và vẽ đồ thị.
• Tính diện tích hình phẳng: xác định miền mà đồ thị nằm trên và nằm dưới trục hoành, từ đó tính tổng các phần diện tích dương.
• Tính thể tích khối tròn xoay: quay hình phàn giới hạn bởi đồ thị và trục Ox quanh trục Ox và áp dụng công thức thể tích.

Yêu cầu của bài toán

• Phần a: Biết cách khảo sát hàm số bậc ba bằng phương pháp đạo hàm.
• Phần b: Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng khi đồ thị cắt trục Ox tại nhiều điểm; phân biệt tích phân có dấu với diện tích (luôn dương).
• Phần c: Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay V = π∫[f(x)]² dx, lưu ý rằng cần bình phương hàm số trước khi tích phân, nên không cần phân biệt phần trên hay dưới trục Ox.

Các khái niệm liên quan

• Đạo hàm: f'(x) = 0 cho ta các điểm cực trị của hàm số.
• Nguyên hàm và tích phân xác định: F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F'(x) = f(x); tích phân xác định ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
• Diện tích hình phẳng: Khi đồ thị cắt trục Ox, cần lấy giá trị tuyệt đối: S = ∫|f(x)|dx.
• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: Theo phương pháp đĩa, V = π∫[f(x)]² dx.

Phương pháp Giải

Chiến lược tiếp cận

Đây là bài toán tích phân tổng hợp ba phần, mỗi phần sử dụng một kỹ năng khác nhau:

1. Khảo sát hàm số: phương pháp đạo hàm cơ bản cho hàm bậc ba.
2. Tính diện tích: cần phân tích dấu của hàm số trên từng đoạn, sau đó chia nhỏ tích phân.
3. Tính thể tích: khai triển đa thức và tích phân từng đơn thức.

Lời giải chi tiết từng bước

Bước 1: Phân tích hàm số

Ta có: f(x) = x³ − 3x² + 2x = x(x² − 3x + 2) = x(x − 1)(x − 2).

Vậy hàm số có ba nghiệm (giao điểm với trục Ox): x = 0, x = 1, x = 2.

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm cực trị (Phần a)

f'(x) = 3x² − 6x + 2 = 0.

Giải phương trình bậc hai: ∆’ = 9 − 6 = 3 > 0, suy ra:

• x₁ = 1 − 1/√3 ≈ 0,423 (điểm cực đại)
• x₂ = 1 + 1/√3 ≈ 1,577 (điểm cực tiểu)

Tính giá trị cực trị:

• f(x₁) = 2x₁ − x₁³ = … = 2√3/9 ≈ 0,385 (cực đại)
• f(x₂) = −2√3/9 ≈ −0,385 (cực tiểu)

Bảng biến thiên:

• Trên (−∞, x₁): f'(x) > 0 → f đồng biến
• Trên (x₁, x₂): f'(x) < 0 → f nghịch biến
• Trên (x₂, +∞): f'(x) > 0 → f đồng biến

Bước 3: Xác định dấu của f(x) trên [0, 2]

Dựa vào phân tích nhân tử f(x) = x(x − 1)(x − 2), ta lập bảng xét dấu:

• Trên đoạn [0, 1]: f(x) ≥ 0 (đồ thị nằm phía trên trục Ox).
• Trên đoạn [1, 2]: f(x) ≤ 0 (đồ thị nằm phía dưới trục Ox).

Bước 4: Tính diện tích hình phẳng (Phần b)

Tìm nguyên hàm cơ bản:

F(x) = ∫(x³ − 3x² + 2x)dx = x⁴/4 − x³ + x² + C

Tính tích phân trên từng đoạn:

• ∫₀¹ f(x)dx = F(1) − F(0) = (1/4 − 1 + 1) − 0 = 1/4
• ∫₁² f(x)dx = F(2) − F(1) = (16/4 − 8 + 4) − (1/4) = 0 − 1/4 = −1/4

Diện tích hình phẳng (lấy giá trị tuyệt đối từng phần):

S = |1/4| + |−1/4| = 1/4 + 1/4 = 1/2 (đvdt)

Bước 5: Tính thể tích khối tròn xoay (Phần c)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) và trục Ox quanh trục Ox được tính theo công thức đĩa:

V = π ∫₀² [f(x)]² dx

Quan trọng: vì công thức sử dụng [f(x)]², ta không cần phân biệt phần trên hay dưới trục Ox — giá trị bình phương luôn dương.

Khai triển [f(x)]² = (x³ − 3x² + 2x)² = x⁶ − 6x⁵ + 13x⁴ − 12x³ + 4x².

Nguyên hàm:

G(x) = x⁷/7 − x⁶ + 13x⁵/5 − 3x⁴ + 4x³/3

Tính tại x = 2:

• x⁷/7 = 128/7
• x⁶ = 64
• 13x⁵/5 = 416/5
• 3x⁴ = 48
• 4x³/3 = 32/3

G(2) = 128/7 − 64 + 416/5 − 48 + 32/3

Quy đồng mẫu số 105:

• 128/7 = 1920/105
• 64 = 6720/105
• 416/5 = 8736/105
• 48 = 5040/105
• 32/3 = 1120/105

G(2) = (1920 − 6720 + 8736 − 5040 + 1120)/105 = 16/105

G(0) = 0

Vậy thể tích:

V = π · 16/105 = 16π/105 (đvtt)

Kết luận: Diện tích hình phẳng cần tìm là S = 1/2, thể tích khối tròn xoay là V = 16π/105.

Cách Giải Khác

Phương pháp đổi biến (cho phần thể tích)

Thay vì khai triển trực tiếp, ta có thể đặt u = x − 1 để tận dụng tính đối xứng. Khi đó x = u + 1, dx = du, và:

f(x) = (u+1)³ − 3(u+1)² + 2(u+1) = u³ − u = u(u² − 1)

Đoạn tích phân biến đổi từ u = −1 đến u = 1. Do u³ là hàm lẻ, các hạng tử bậc lẻ sẽ triệt tiêu khi tích phân trên đoạn đối xứng [−1, 1]. Điều này giúp rút gọn đáng kể phép khai triển [f(x)]².

So sánh ưu nhược điểm

• Phương pháp khai triển trực tiếp: Đơn giản, không cần ý tưởng sáng tạo, nhưng tính toán dài hơn vì phải khai triển đa thức bậc cao.
• Phương pháp đổi biến: Giảm bớt phép tính nhờ tính đối xứng, nhưng đòi hỏi nhận biết được phép thay đổi biến phù hợp. Phù hợp hơn khi hàm số có tính chất đối xứng quanh một điểm.

Đối với phần diện tích, ta không thể dùng đổi biến để bỏ qua việc xét dấu, vì giá trị tuyệt đối phá vỡ tính đối xứng. Tuy nhiên, nhận xét rằng f(x) = (x−1)³ − (x−1) cho thấy hàm số đối xứng quay quanh điểm (1, 0), do đó hai phần diện tích trên [0,1] và [1,2] bằng nhau. Điều này giúp ta chỉ cần tính một đoạn rồi nhân đôi.

Phương pháp hình học (Pappus)

Định lý Guldin (Pappus): Thể tích khối tròn xoay bằng diện tích hình phẳng nhân với chu vi đường tròn mà tâm trọng lực di chuyển. Tuy nhiên, phương pháp này yêu cầu tìm tọa độ trọng tâm — phức tạp hơn so với tích phân trực tiếp cho bài toán này.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Nhầm lẫn tích phân có dấu với diện tích

Sai lầm: Tính S = ∫₀² f(x)dx = F(2) − F(0) = 0 − 0 = 0, kết luận diện tích bằng 0.

Giải thích: Vì phần diện tích trên trục Ox (dương) và dưới trục Ox (âm) triệt tiêu nhau, tích phân có dấu bằng 0. Nhưng diện tích luôn là tổng giá trị tuyệt đối: S = ∫₀¹ f(x)dx + |∫₁² f(x)dx| = 1/2.

Cách tránh: Luôn vẽ đồ thị hoặc lập bảng xét dấu trước khi tính diện tích. Khi hàm đổi dấu, chia tích phân tại các nghiệm và lấy giá trị tuyệt đối mỗi phần.

2. Quên nhân π trong công thức thể tích

Sai lầm: Tính V = ∫₀² [f(x)]² dx = 16/105 mà quên nhân π.

Giải thích: Công thức đúng là V = π∫[f(x)]² dx. Hệ số π bắt nguồn từ diện tích hình tròn (πr²) trong phương pháp đĩa.

3. Sai khi khai triển bình phương đa thức

Sai lầm: Tính nhầm (x³ − 3x² + 2x)² ≠ x⁶ − 9x⁴ + 4x² (sai vì không khai triển đúng công thức).

Giải thích: Cần nhớ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc, hoặc nhân từng bước: (x³ − 3x² + 2x)² = x² · (x² − 3x + 2)² rồi khai triển từ trong ra ngoài.

4. Sai đạo hàm khi khảo sát hàm số

Sai lầm: Tính f'(x) = 3x² − 3x + 2 (thiếu hệ số).

Giải thích: Đạo hàm đúng là f'(x) = 3x² − 6x + 2. Lỗi thường gặp do nhầm quy tắc đạo hàm lũy thừa. Luôn kiểm tra lại bằng cách phân tích ngược hoặc thay giá trị cụ thể.

Bài tập Luyện tập

1. Cho hàm số f(x) = x² − 2x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox.

Lời giải: f(x) = x(x − 2), nghiệm x = 0, x = 2. Trên [0, 2]: f(x) ≤ 0. Diện tích: S = −∫₀²(x² − 2x)dx = −[x³/3 − x²]₀² = −(8/3 − 4) = 4/3 (đvdt).

2. Tính tích phân: I = ∫₀^π x·sin x dx.

Lời giải: Dùng tích phân từng phần: u = x, dv = sin x dx → du = dx, v = −cos x. I = [−x·cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx = π + [sin x]₀^π = π.

3. Cho f(x) = x³ − x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox trên đoạn [−1, 1].

Lời giải: f(x) = x(x − 1)(x + 1), nghiệm x = −1, 0, 1. Trên [−1, 0]: f(x) ≥ 0; trên [0, 1]: f(x) ≤ 0. S = ∫₋₁⁰(x³−x)dx + |∫₀¹(x³−x)dx| = 1/4 + 1/4 = 1/2 (đvdt).

4. Tính tích phân: I = ∫₁² (x² + 1)/x dx.

Lời giải: I = ∫₁² (x + 1/x)dx = [x²/2 + ln|x|]₁² = (2 + ln 2) − (1/2 + 0) = 3/2 + ln 2.

5. Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng d: y = 2x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d, rồi tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.

Lời giải: Giao điểm: x² = 2x → x = 0, x = 2. Trên [0, 2]: 2x ≥ x². S = ∫₀²(2x − x²)dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 (đvdt). Thể tích: V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²(4x² − x⁴)dx = π[4x³/3 − x⁵/5]₀² = π(32/3 − 32/5) = π · 64/15 = 64π/15 (đvtt).

💡 Ghi nhớ: Khi tính diện tích hình phẳng, luôn xét dấu hàm số trên từng đoạn trước khi lập tích phân. Khi tính thể tích quay quanh trục Ox bằng phương pháp đĩa, ta sử dụng hiệu bình phương: V = π∫(y_1² − y_2²)dx nếu có hai đường cong giới hạn.

Phân tích Đề bài

Bài toán yêu cầu ba mục chính xoay quanh chủ đề ứng dụng tích phân trong hình học phẳng.

Dữ kiện cho trước và điều kiện

• Parabol (P): y = x² − 4x + 5. Đây là hàm bậc hai có hệ số a = 1 > 0, nên parabol có dạng cong mở lên. Đỉnh của parabol nằm tại x = 2, y = 1.
• Đường thẳng d: y = x + 1. Đây là đường thẳng có hệ số góc k = 1 và hệ số tự do b = 1.
• Miền khảo sát là vùng không gian giới hạn bởi hai đồ thị này trên mặt phẳng Oxy.

Yêu cầu của bài toán

• Câu a: Xác định tọa độ giao điểm — tức giải phương trình hoành độ giao điểm.
• Câu b: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, sử dụng công thức diện tích qua tích phân.
• Câu c: Tính thể tích khối tròn xoay bằng phương pháp đĩa (washer method) khi quay quanh trục Ox.

Các khái niệm liên quan

• Tìm giao điểm: Giải phương trình f(x) = g(x).
• Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, trong đó a và b là hoành độ giao điểm.
• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox (phương pháp đĩa rửa): V = π∫ₐᵇ |[f(x)]² − [g(x)]²| dx, trong đó f(x) ≥ g(x) trên [a, b].
• Tích phân xác định cơ bản: Quy tắc lũy thừa ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1), và các phép biến đổi đại số cơ bản.

Lưu ý: Đồ thị (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tạo thành một hình phẳng khép kín. Trên đoạn giữa hai giao điểm, đường thẳng d nằm phía trên parabol (P), điều này cần xác nhận bằng cách thử một giá trị nằm giữa.

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận và chiến lược

Ta sẽ giải bài toán theo ba bước tuần tự:

• Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x), giải phương trình bậc hai để tìm a và b.
• Bước 2: Tính diện tích bằng tích phân S = ∫ₐᵇ [d(x) − P(x)] dx (vì d nằm trên P trên đoạn [a, b]).
• Bước 3: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox bằng công thức đĩa rửa V = π∫ₐᵇ {[d(x)]² − [P(x)]²} dx.

Tại sao dùng phương pháp này?

Phương pháp tích phân xác định để tính diện tích và thể tích là công cụ chuẩn trong giải tích. Công thức đĩa rửa (washer method) được sử dụng vì khi quay quanh trục Ox, tại mỗi giá trị x, mặt cắt ngang là một hình đệm (washer) có bán kính ngoài là khoảng cách từ trục Ox đến đường cong bên trên và bán kính trong là khoảng cách đến đường cong bên dưới.

Lời giải chi tiết từng bước

Câu a: Tìm tọa độ giao điểm

Phương trình hoành độ giao điểm:

x² − 4x + 5 = x + 1

⇔ x² − 5x + 4 = 0

⇔ (x − 1)(x − 4) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = 4

Với x = 1: y = 1 + 1 = 2 → điểm A(1; 2)

Với x = 4: y = 4 + 1 = 5 → điểm B(4; 5)

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại A(1; 2) và B(4; 5).

— Minh họa đồ thị parabol (P) và đường thẳng d, đánh dấu hai giao điểm A và B, tô đậm vùng hình phẳng giới hạn.

Câu b: Tính diện tích hình phẳng

Trước tiên, kiểm tra đường nào nằm trên. Thử x = 2 ∈ (1; 4):

• d(2) = 2 + 1 = 3
• P(2) = 4 − 8 + 5 = 1

Vì d(2) > P(2), nên đường thẳng d nằm phía trên parabol (P) trên đoạn [1; 4].

Diện tích cần tính:

S = ∫₁⁴ [(x + 1) − (x² − 4x + 5)] dx = ∫₁⁴ (−x² + 5x − 4) dx

Tìm nguyên hàm:

∫(−x² + 5x − 4) dx = −x³/3 + 5x²/2 − 4x + C

Áp dụng cận:

S = [−x³/3 + 5x²/2 − 4x]₁⁴

Tại x = 4:

−64/3 + 40 − 16 = −64/3 + 24 = (−64 + 72)/3 = 8/3

Tại x = 1:

−1/3 + 5/2 − 4 = (−2 + 15 − 24)/6 = −11/6

Vậy S = 8/3 − (−11/6) = 16/6 + 11/6 = 27/6 = 9/2 (đvdt).

— Phần tô đậm hình phẳng giới hạn bởi (P) và d, kèm chú thích diện tích S = 9/2.

Câu c: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox

Dùng công thức thể tích khối tròn xoay (phương pháp đĩa rửa):

V = π∫₁⁴ {[d(x)]² − [P(x)]²} dx

Tính từng bình phương:

[d(x)]² = (x + 1)² = x² + 2x + 1

[P(x)]² = (x² − 4x + 5)² = x⁴ − 8x³ + 26x² − 40x + 25

(Khai triển: (x² − 4x + 5)² = x⁴ + 16x² + 25 − 8x³ + 10x² − 40x = x⁴ − 8x³ + 26x² − 40x + 25)

Hiệu hai bình phương:

[d(x)]² − [P(x)]² = (x² + 2x + 1) − (x⁴ − 8x³ + 26x² − 40x + 25)

= −x⁴ + 8x³ − 25x² + 42x − 24

Tính tích phân:

V/π = ∫₁⁴ (−x⁴ + 8x³ − 25x² + 42x − 24) dx

Nguyên hàm:

F(x) = −x⁵/5 + 2x⁴ − 25x³/3 + 21x² − 24x

Tại x = 4:

F(4) = −1024/5 + 512 − 1600/3 + 336 − 96

= −1024/5 − 1600/3 + 752

= (−3072 − 8000 + 11280)/15 = 208/15

Tại x = 1:

F(1) = −1/5 + 2 − 25/3 + 21 − 24

= −1/5 − 25/3 − 1

= (−3 − 125 − 15)/15 = −143/15

F(4) − F(1) = 208/15 − (−143/15) = 351/15 = 117/5

Vậy V = 117π/5 (đvtt).

— Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và d quanh trục Ox, kèm chú thích V = 117π/5.

Cách Giải Khác

1. Tính diện tích bằng phương pháp tích phân theo biến y

Thay vì tích phân theo x (phương pháp dải đứng), ta có thể tích phân theo y (phương pháp dải ngang). Tuy nhiên, cách này phức tạp hơn vì cần viết x theo y từ cả hai phương trình:

• Từ d: x = y − 1
• Từ (P): y = x² − 4x + 5 → x² − 4x + (5 − y) = 0 → x = 2 ± √(y − 1). Trên nhánh cần xét, x = 2 − √(y − 1) (cánh trái) và x = 2 + √(y − 1) (cánh phải), nên cần tách tích phân tại y = 2.

Ưu điểm: Linh hoạt khi hàm không biểu diễn dễ dàng x = f(y). Nhược điểm: Phức tạp hơn nhiều trong bài này vì cần chia thành hai nhánh. Phương pháp tích phân theo x đơn giản và trực tiếp hơn.

2. Tính thể tích bằng phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells)

Khi quay quanh trục Ox, phương pháp vỏ trụ tích phân theo y:

V = 2π∫₂⁵ y · [Δx(y)] dy

trong đó Δx(y) là độ rộng hình phẳng theo phương ngang tại mỗi y. Tuy nhiên, do hình phẳng bị giới hạn bởi cả parabol và đường thẳng, biểu thức Δx(y) thay đổi theo từng đoạn y, khiến phép tính phức tạp hơn nhiều so với phương pháp đĩa rửa.

So sánh: Phương pháp đĩa rửa cho lời giải gọn ghẽ hơn trong bài toán này vì ranh giới theo x rõ ràng (x = 1 và x = 4) và biểu thức tích phân tuy bậc 4 nhưng có nguyên hàm dễ dàng.

— Sơ đồ minh họa phương pháp vỏ trụ: các lớp vỏ mỏng song song với trục quay Ox.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Sai lầm khi xác định đường cong nằm trên

Nhiều học sinh quên kiểm tra đường nào nằm trên đường nào trước khi viết công thức diện tích. Nếu lấy sai thứ tự (trừ ngược), kết quả sẽ âm. Cách tránh: Luôn thử một giá trị x nằm giữa hai giao điểm để so sánh giá trị hai hàm.

2. Sai dấu trong khai triển bình phương

Khi tính [P(x)]² = (x² − 4x + 5)², học sinh thường mắc lỗi dấu, chẳng dụ bỏ qua hạng tử 2·(x²)(−4x) = −8x³ hoặc tính sai (−4x)² = −16x² thay vì +16x². Cách tránh: Áp dụng hằng đẳng thức (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc một cách có hệ thống.

3. Tính sai nguyên hàm của xⁿ

Lỗi phổ biến là quên cộng 1 vào số mũ hoặc đặt sai hệ số. Ví dụ: ∫x⁴ dx = x⁵/5 chứ không phải x⁵/4. Cách tránh: Kiểm tra lại bằng cách đạo hàm ngược: d/dx(x⁵/5) = x⁴ ✓.

4. Sai khi thay cận

Khi thay cận trên và cận dưới, học sinh thường quên đổi dấu cho giá trị cận dưới. Cách tránh: Viết rõ ràng F(b) − F(a) và tính từng giá trị riêng biệt rồi mới trừ.

5. Quên nhân π trong công thức thể tích

Công thức thể tích khối tròn xoay luôn có hệ số π. Nhiều học sinh chỉ tính phần tích phân mà quên nhân π ở cuối.

— Bảng tổng hợp các lỗi sai thường gặp khi tính tích phân, kèm ví dụ minh họa và cách khắc phục.

Bài tập Luyện tập

1. [Đề bài]: Tính tích phân I = ∫₀¹ x² · e^(3x) dx.

→ Lời giải: Dùng tích phân từng phần hai lần với u = x², dv = e^(3x)dx. Kết quả: I = (5e³ − 2)/27.

---

2. [Đề bài]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² − 2x và đường thẳng y = x.

→ Lời giải: Giao điểm: x² − 2x = x ⇒ x = 0, x = 3. Trên [0; 3], đường thẳng nằm trên. S = ∫₀³ (3x − x²) dx = [3x²/2 − x³/3]₀³ = 27/2 − 9 = 9/2 (đvdt).

---

3. [Đề bài]: Tính tích phân I = ∫₁² (x + 1)/(x² + 2x + 5) dx.

→ Lời giải: Đặt u = x² + 2x + 5, du = 2(x + 1)dx. Khi x = 1 → u = 8; x = 2 → u = 13. I = (1/2)∫₈¹³ du/u = (1/2)ln(13/8). Kết quả: I = (1/2)ln(13/8).

---

4. [Đề bài]: Tìm thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √(x + 3), y = 0, x = 0 và x = 1 quanh trục Ox.

→ Lời giải: V = π∫₀¹ (x + 3) dx = π[x²/2 + 3x]₀¹ = π(1/2 + 3) = 7π/2 (đvtt).

---

5. [Đề bài]: Tính tích phân I = ∫₀^{π/3} sin²(x) dx.

→ Lời giải: Dùng công thức hạ bậc: sin²(x) = (1 − cos2x)/2. Khi đó I = ∫₀^{π/3} (1 − cos2x)/2 dx = [x/2 − sin2x/4]₀^{π/3} = π/6 − sin(2π/3)/4 = π/6 − (√3/2)/4 = π/6 − √3/8.

— Tổng kết kiến thức trọng tâm: công thức diện tích và thể tích qua tích phân, kèm sơ dồ tư duy giải toán.