Cho hàm số f(x) = x³ − 3x² + 2x. a) Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox. c) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.

Phân tích Đề bài

Dữ kiện cho trước và điều kiện

Cho hàm số bậc ba f(x) = x³ − 3x² + 2x trên tập số thực ℝ. Để giải quyết các câu hỏi đề bài, chúng ta cần thực hiện ba nhiệm vụ chính:

Khảo sát sự biến thiên: tìm tập xác định, tính đạo hàm, xác định các khoảng đồng biến/nghịch biến, tìm cực trị và vẽ đồ thị.
Tính diện tích hình phẳng: xác định miền mà đồ thị nằm trên và nằm dưới trục hoành, từ đó tính tổng các phần diện tích dương.
Tính thể tích khối tròn xoay: quay hình phàn giới hạn bởi đồ thị và trục Ox quanh trục Ox và áp dụng công thức thể tích.

Yêu cầu của bài toán

Phần a: Biết cách khảo sát hàm số bậc ba bằng phương pháp đạo hàm.
Phần b: Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng khi đồ thị cắt trục Ox tại nhiều điểm; phân biệt tích phân có dấu với diện tích (luôn dương).
Phần c: Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay V = π∫[f(x)]² dx, lưu ý rằng cần bình phương hàm số trước khi tích phân, nên không cần phân biệt phần trên hay dưới trục Ox.

Các khái niệm liên quan

Đạo hàm: f'(x) = 0 cho ta các điểm cực trị của hàm số.
Nguyên hàm và tích phân xác định: F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F'(x) = f(x); tích phân xác định ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
Diện tích hình phẳng: Khi đồ thị cắt trục Ox, cần lấy giá trị tuyệt đối: S = ∫|f(x)|dx.
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: Theo phương pháp đĩa, V = π∫[f(x)]² dx.

Phương pháp Giải

Chiến lược tiếp cận

Đây là bài toán tích phân tổng hợp ba phần, mỗi phần sử dụng một kỹ năng khác nhau:

Khảo sát hàm số: phương pháp đạo hàm cơ bản cho hàm bậc ba.
Tính diện tích: cần phân tích dấu của hàm số trên từng đoạn, sau đó chia nhỏ tích phân.
Tính thể tích: khai triển đa thức và tích phân từng đơn thức.

Lời giải chi tiết từng bước

Bước 1: Phân tích hàm số

Ta có: f(x) = x³ − 3x² + 2x = x(x² − 3x + 2) = x(x − 1)(x − 2).

Vậy hàm số có ba nghiệm (giao điểm với trục Ox): x = 0, x = 1, x = 2.

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm cực trị (Phần a)

f'(x) = 3x² − 6x + 2 = 0.

Giải phương trình bậc hai: ∆’ = 9 − 6 = 3 > 0, suy ra:

x₁ = 1 − 1/√3 ≈ 0,423 (điểm cực đại)
x₂ = 1 + 1/√3 ≈ 1,577 (điểm cực tiểu)

Tính giá trị cực trị:

f(x₁) = 2x₁ − x₁³ = … = 2√3/9 ≈ 0,385 (cực đại)
f(x₂) = −2√3/9 ≈ −0,385 (cực tiểu)

Bảng biến thiên:

Trên (−∞, x₁): f'(x) > 0 → f đồng biến
Trên (x₁, x₂): f'(x) < 0 → f nghịch biến
Trên (x₂, +∞): f'(x) > 0 → f đồng biến

Bước 3: Xác định dấu của f(x) trên [0, 2]

Dựa vào phân tích nhân tử f(x) = x(x − 1)(x − 2), ta lập bảng xét dấu:

Trên đoạn [0, 1]: f(x) ≥ 0 (đồ thị nằm phía trên trục Ox).
Trên đoạn [1, 2]: f(x) ≤ 0 (đồ thị nằm phía dưới trục Ox).

Bước 4: Tính diện tích hình phẳng (Phần b)

Tìm nguyên hàm cơ bản:

F(x) = ∫(x³ − 3x² + 2x)dx = x⁴/4 − x³ + x² + C

Tính tích phân trên từng đoạn:

∫₀¹ f(x)dx = F(1) − F(0) = (1/4 − 1 + 1) − 0 = 1/4
∫₁² f(x)dx = F(2) − F(1) = (16/4 − 8 + 4) − (1/4) = 0 − 1/4 = −1/4

Diện tích hình phẳng (lấy giá trị tuyệt đối từng phần):

S = |1/4| + |−1/4| = 1/4 + 1/4 = 1/2 (đvdt)

Bước 5: Tính thể tích khối tròn xoay (Phần c)

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) và trục Ox quanh trục Ox được tính theo công thức đĩa:

V = π ∫₀² [f(x)]² dx

Quan trọng: vì công thức sử dụng [f(x)]², ta không cần phân biệt phần trên hay dưới trục Ox — giá trị bình phương luôn dương.

Khai triển [f(x)]² = (x³ − 3x² + 2x)² = x⁶ − 6x⁵ + 13x⁴ − 12x³ + 4x².

Nguyên hàm:

G(x) = x⁷/7 − x⁶ + 13x⁵/5 − 3x⁴ + 4x³/3

Tính tại x = 2:

x⁷/7 = 128/7
x⁶ = 64
13x⁵/5 = 416/5
3x⁴ = 48
4x³/3 = 32/3

G(2) = 128/7 − 64 + 416/5 − 48 + 32/3

Quy đồng mẫu số 105:

128/7 = 1920/105
64 = 6720/105
416/5 = 8736/105
48 = 5040/105
32/3 = 1120/105

G(2) = (1920 − 6720 + 8736 − 5040 + 1120)/105 = 16/105

G(0) = 0

Vậy thể tích:

V = π · 16/105 = 16π/105 (đvtt)

Kết luận: Diện tích hình phẳng cần tìm là S = 1/2, thể tích khối tròn xoay là V = 16π/105.

Cách Giải Khác

Phương pháp đổi biến (cho phần thể tích)

Thay vì khai triển trực tiếp, ta có thể đặt u = x − 1 để tận dụng tính đối xứng. Khi đó x = u + 1, dx = du, và:

f(x) = (u+1)³ − 3(u+1)² + 2(u+1) = u³ − u = u(u² − 1)

Đoạn tích phân biến đổi từ u = −1 đến u = 1. Do u³ là hàm lẻ, các hạng tử bậc lẻ sẽ triệt tiêu khi tích phân trên đoạn đối xứng [−1, 1]. Điều này giúp rút gọn đáng kể phép khai triển [f(x)]².

So sánh ưu nhược điểm

Phương pháp khai triển trực tiếp: Đơn giản, không cần ý tưởng sáng tạo, nhưng tính toán dài hơn vì phải khai triển đa thức bậc cao.
Phương pháp đổi biến: Giảm bớt phép tính nhờ tính đối xứng, nhưng đòi hỏi nhận biết được phép thay đổi biến phù hợp. Phù hợp hơn khi hàm số có tính chất đối xứng quanh một điểm.

Đối với phần diện tích, ta không thể dùng đổi biến để bỏ qua việc xét dấu, vì giá trị tuyệt đối phá vỡ tính đối xứng. Tuy nhiên, nhận xét rằng f(x) = (x−1)³ − (x−1) cho thấy hàm số đối xứng quay quanh điểm (1, 0), do đó hai phần diện tích trên [0,1] và [1,2] bằng nhau. Điều này giúp ta chỉ cần tính một đoạn rồi nhân đôi.

Phương pháp hình học (Pappus)

Định lý Guldin (Pappus): Thể tích khối tròn xoay bằng diện tích hình phẳng nhân với chu vi đường tròn mà tâm trọng lực di chuyển. Tuy nhiên, phương pháp này yêu cầu tìm tọa độ trọng tâm — phức tạp hơn so với tích phân trực tiếp cho bài toán này.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Nhầm lẫn tích phân có dấu với diện tích

Sai lầm: Tính S = ∫₀² f(x)dx = F(2) − F(0) = 0 − 0 = 0, kết luận diện tích bằng 0.

Giải thích: Vì phần diện tích trên trục Ox (dương) và dưới trục Ox (âm) triệt tiêu nhau, tích phân có dấu bằng 0. Nhưng diện tích luôn là tổng giá trị tuyệt đối: S = ∫₀¹ f(x)dx + |∫₁² f(x)dx| = 1/2.

Cách tránh: Luôn vẽ đồ thị hoặc lập bảng xét dấu trước khi tính diện tích. Khi hàm đổi dấu, chia tích phân tại các nghiệm và lấy giá trị tuyệt đối mỗi phần.

2. Quên nhân π trong công thức thể tích

Sai lầm: Tính V = ∫₀² [f(x)]² dx = 16/105 mà quên nhân π.

Giải thích: Công thức đúng là V = π∫[f(x)]² dx. Hệ số π bắt nguồn từ diện tích hình tròn (πr²) trong phương pháp đĩa.

3. Sai khi khai triển bình phương đa thức

Sai lầm: Tính nhầm (x³ − 3x² + 2x)² ≠ x⁶ − 9x⁴ + 4x² (sai vì không khai triển đúng công thức).

Giải thích: Cần nhớ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc, hoặc nhân từng bước: (x³ − 3x² + 2x)² = x² · (x² − 3x + 2)² rồi khai triển từ trong ra ngoài.

4. Sai đạo hàm khi khảo sát hàm số

Sai lầm: Tính f'(x) = 3x² − 3x + 2 (thiếu hệ số).

Giải thích: Đạo hàm đúng là f'(x) = 3x² − 6x + 2. Lỗi thường gặp do nhầm quy tắc đạo hàm lũy thừa. Luôn kiểm tra lại bằng cách phân tích ngược hoặc thay giá trị cụ thể.

Bài tập Luyện tập

1. Cho hàm số f(x) = x² − 2x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox.

Lời giải: f(x) = x(x − 2), nghiệm x = 0, x = 2. Trên [0, 2]: f(x) ≤ 0. Diện tích: S = −∫₀²(x² − 2x)dx = −[x³/3 − x²]₀² = −(8/3 − 4) = 4/3 (đvdt).

2. Tính tích phân: I = ∫₀^π x·sin x dx.

Lời giải: Dùng tích phân từng phần: u = x, dv = sin x dx → du = dx, v = −cos x. I = [−x·cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx = π + [sin x]₀^π = π.

3. Cho f(x) = x³ − x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox trên đoạn [−1, 1].

Lời giải: f(x) = x(x − 1)(x + 1), nghiệm x = −1, 0, 1. Trên [−1, 0]: f(x) ≥ 0; trên [0, 1]: f(x) ≤ 0. S = ∫₋₁⁰(x³−x)dx + |∫₀¹(x³−x)dx| = 1/4 + 1/4 = 1/2 (đvdt).

4. Tính tích phân: I = ∫₁² (x² + 1)/x dx.

Lời giải: I = ∫₁² (x + 1/x)dx = [x²/2 + ln|x|]₁² = (2 + ln 2) − (1/2 + 0) = 3/2 + ln 2.

5. Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng d: y = 2x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d, rồi tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.

Lời giải: Giao điểm: x² = 2x → x = 0, x = 2. Trên [0, 2]: 2x ≥ x². S = ∫₀²(2x − x²)dx = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 (đvdt). Thể tích: V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²(4x² − x⁴)dx = π[4x³/3 − x⁵/5]₀² = π(32/3 − 32/5) = π · 64/15 = 64π/15 (đvtt).

💡 Ghi nhớ: Khi tính diện tích hình phẳng, luôn xét dấu hàm số trên từng đoạn trước khi lập tích phân. Khi tính thể tích quay quanh trục Ox bằng phương pháp đĩa, ta sử dụng hiệu bình phương: V = π∫(y_1² − y_2²)dx nếu có hai đường cong giới hạn.