Phân tích Đề bài
Dữ kiện cho trước:
- Hàm số: f(x) = ln(x + 1), xác định trên đoạn [0; e − 1].
- Miền xét: x ∈ [0; e − 1], tương ứng với tập giá trị y ∈ [0; 1] vì f(0) = ln 1 = 0 và f(e−1) = ln e = 1.
- Hình phẳng cần xét giới hạn bởi: đồ thị y = ln(x+1), trục hoành (y = 0), đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = e − 1.
Yêu cầu của bài toán:
- Câu a: Tính diện tích hình phẳng H giới hạn nêu trên.
- Câu b: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Oy (trục tung).
Các khái niệm liên quan:
- Công thức tính diện tích hình phẳng: S = ∫[a→b] f(x) dx (khi f(x) ≥ 0 trên [a; b]).
- Phương pháp tích phân từng phần: ∫ u dv = u·v − ∫ v du, thường dùng khi tích phân chứa hàm logarit nhân với đa thức.
- Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy: V = π ∫[c→d] x²(y) dy, trong đó x(y) là hàm biểu diễn x theo y.
- Phép đổi biến (đặt ẩn phụ) để chuyển đổi biểu thức tích phân cho phù hợp.
– Hình minh họa đồ thị y = ln(x+1) trên đoạn [0; e-1], hình phẳng giới hạn và trục tọa độ
Phương pháp Giải
Câu a: Tính diện tích hình phẳng
Chiến lược:
Ta nhận thấy hàm số f(x) = ln(x + 1) ≥ 0 trên toàn bộ đoạn [0; e − 1] vì x + 1 ≥ 1 ⇒ ln(x+1) ≥ 0. Do đó, diện tích được tính trực tiếp bằng công thức:
S = ∫₀^(e−1) ln(x + 1) dx
Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Lý do là vì hàm logarit không có nguyên hàm cơ bản đơn giản, nhưng đạo hàm của nó lại đơn giản (1/(x+1)), nên đặt u = ln(x+1) sẽ giúp biến đổi tích phân về dạng dễ tính hơn.
Lời giải chi tiết:
Đặt u = ln(x + 1) và dv = dx.
Khi đó: du = dx/(x + 1) và v = x.
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
∫ ln(x + 1) dx = x · ln(x + 1) − ∫ x/(x + 1) dx
Xét tích phân ∫ x/(x + 1) dx, ta biến đổi:
x/(x + 1) = (x + 1 − 1)/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1)
Suy ra: ∫ x/(x + 1) dx = ∫ [1 − 1/(x + 1)] dx = x − ln|x + 1| + C
Thay lại:
∫ ln(x + 1) dx = x · ln(x + 1) − x + ln(x + 1) + C = (x + 1) · ln(x + 1) − x + C
Tính giá trị xác định:
S = [(x + 1) · ln(x + 1) − x] |₀^(e−1)
Tại x = e − 1: (e − 1 + 1) · ln(e − 1 + 1) − (e − 1) = e · ln(e) − e + 1 = e · 1 − e + 1 = 1
Tại x = 0: (0 + 1) · ln(0 + 1) − 0 = 1 · ln(1) = 0
Vậy diện tích hình phẳng S = 1 − 0 = 1 (đvdt).
– Minh họa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = ln(x+1), trục Ox, x = 0 và x = e-1
Câu b: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy
Chiến lược:
Vì quay quanh trục Oy, ta cần biểu diễn x theo y. Khi quay quanh Oy, công thức thể tích là:
V = π ∫[c→d] x²(y) dy
Trong đó c và d là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của y trên miền đang xét.
Cách làm:
Từ y = ln(x + 1), suy ra x + 1 = e^y, tức là x = e^y − 1.
Khi x = 0 thì y = ln(1) = 0; khi x = e − 1 thì y = ln(e) = 1.
Vậy y chạy từ 0 đến 1.
Thể tích khối tròn xoay:
V = π ∫₀¹ (e^y − 1)² dy
Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân:
(e^y − 1)² = e^(2y) − 2e^y + 1
Do đó:
V = π ∫₀¹ [e^(2y) − 2e^y + 1] dy
= π [e^(2y)/2 − 2e^y + y] |₀¹
Tại y = 1: e²/2 − 2e + 1
Tại y = 0: e⁰/2 − 2e⁰ + 0 = 1/2 − 2 = −3/2
Suy ra:
V = π [(e²/2 − 2e + 1) − (−3/2)]
= π [e²/2 − 2e + 1 + 3/2]
= π [e²/2 − 2e + 5/2]
= π(e² − 4e + 5)/2
Kết quả: Thể tích khối tròn xoay V = π(e² − 4e + 5)/2 ≈ 2.38 (đvtt).
Kiểm tra nhanh: Ta có e² ≈ 7,389; 4e ≈ 10,873; nên e² − 4e + 5 ≈ 1,516. Vậy V ≈ π × 0,758 ≈ 2,38. Kết quả hợp lý vì hình phẳng có diện tích bằng 1 và nằm trong miền nhỏ.
– Minh họa khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy
Cách Giải Khác
1. Tính diện tích bằng phương pháp đổi biến
Thay vì tích phân từng phần, ta có thể đặt t = x + 1, suy ra dt = dx. Khi x = 0 thì t = 1; khi x = e − 1 thì t = e.
S = ∫₁^e ln(t) dt
Tích phân ∫ ln(t) dt là một nguyên hàm cơ bản:
∫ ln(t) dt = t · ln(t) − t + C
S = [t · ln(t) − t]₁^e = (e · 1 − e) − (1 · 0 − 1) = 0 − (−1) = 1
So sánh: Cách đổi biến nhanh hơn và gọn hơn vì đưa về nguyên hàm cơ bản của ln(t). Tuy nhiên, nhiều học sinh thường không nhận ra phép đổi biến này và chọn tích phân từng phần — dù vẫn cho kết quả đúng nhưng phải thực hiện nhiều bước hơn.
2. Tính thể tích bằng phương pháp vỏ trụ (phương pháp bao)
Ngoài công thức đĩa (dùng x(y)), ta có thể tính thể tích quay quanh Oy bằng phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells):
V = 2π ∫₀^(e−1) x · ln(x + 1) dx
Cách này đòi hỏi tích phân ∫ x · ln(x + 1) dx, phức tạp hơn so với phương pháp đĩa. Ta đặt u = ln(x + 1), dv = x dx, rồi tiếp tục tích phân từng phần. Kết quả cuối cùng vẫn cho V = π(e² − 4e + 5)/2, nhưng quá trình tính toán dài hơn đáng kể.
So sánh ưu nhược điểm:
- Phương pháp đĩa (đã dùng): Đơn giản, trực tiếp khi dễ dàng biểu diễn x theo y. Ưu việt khi hình phẳng có biểu thức x(y) thuận tiện.
- Phương pháp vỏ trụ: Có thể áp dụng khi không cần giải x theo y, nhưng tích phân thường phức tạp hơn. Phù hợp khi quay quanh trục Ox mà hàm x(y) khó khai triển.
Lưu ý Sai lầm Thường gặp
1. Quên đổi cận khi đổi biến:
Nhiều học sinh đặt t = x + 1 để tính ∫ ln(x+1) dx nhưng quên đổi cận tích phân, dẫn đến kết quả sai. Khi đổi biến, cần thay lại cả cận dưới và cận trên cho phù hợp với biến mới.
2. Nhầm công thức thể tích quay quanh trục Oy:
Học sinh thường nhầm lẫn giữa công thức quay quanh Ox (V = π∫ y² dx) và quay quanh Oy (V = π∫ x² dy). Cần xác định rõ trục quay trước khi áp dụng công thức. Đặc biệt, khi quay quanh Oy, ta phải biểu diễn x theo y, không phải dùng trực tiếp hàm y = f(x).
3. Sai khi khai triển bình phương:
Khi tính (e^y − 1)², một số học sinh nhầm thành e^(2y) − 1 thay vì e^(2y) − 2e^y + 1. Hãy nhớ công thức (a − b)² = a² − 2ab + b² và áp dụng đầy đủ.
4. Xác định sai dấu của hàm số trên miền tích phân:
Trước khi tính diện tích bằng tích phân, cần kiểm tra xem f(x) có đổi dấu trên đoạn [a; b] hay không. Nếu f(x) < 0 ở một phần miền, diện tích phải lấy giá trị tuyệt đối: S = ∫ |f(x)| dx. Trong bài này, ln(x+1) ≥ 0 trên [0; e−1] nên không cần chia trường hợp.
5. Tính sai nguyên hàm của ln(x):
Nguyên hàm của ln(x) là x·ln(x) − x + C, không phải x·ln(x) hay ln(x)/x. Nên nhớ đây là kết quả từ tích phân từng phần với u = ln(x), dv = dx.
– Bảng tổng hợp các lỗi sai thường gặp khi tính tích phân hàm logarit
Bài tập Luyện tập
1. Tính tích phân: I = ∫₀¹ x · e^(3x) dx
Lời giải: Đặt u = x, dv = e^(3x)dx → du = dx, v = e^(3x)/3.
I = [xe^(3x)/3]₀¹ − ∫₀¹ e^(3x)/3 dx = e³/3 − [e^(3x)/9]₀¹ = e³/3 − e³/9 + 1/9 = (2e³ + 1)/9.
2. Tính tích phân: I = ∫₀^(π/2) x · sin(x) dx
Lời giải: Đặt u = x, dv = sin(x)dx → du = dx, v = −cos(x).
I = [−x·cos(x)]₀^(π/2) + ∫₀^(π/2) cos(x) dx = 0 + [sin(x)]₀^(π/2) = 1.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x² và đường cong (C): y = √x.
Lời giải: Hoành độ giao điểm: x² = √x ⇒ x⁴ = x ⇒ x(x³ − 1) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 1.
Trên [0; 1], √x ≥ x² nên: S = ∫₀¹ (√x − x²) dx = [2x^(3/2)/3 − x³/3]₀¹ = 2/3 − 1/3 = 1/3 (đvdt).
4. Tính tích phân: I = ∫₁^e (ln x)³/x dx
Lời giải: Đặt t = ln x, dt = dx/x. Cận: x = 1 → t = 0; x = e → t = 1.
I = ∫₀¹ t³ dt = [t⁴/4]₀¹ = 1/4.
5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = √x, trục hoành và đường thẳng x = 4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox.
Lời giải: Áp dụng công thức thể tích quanh Ox:
V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π · 8 = 8π (đvtt).
– Bài tập tổng hợp: minh họa các hình phẳng và khối tròn xoay trong bài luyện tập
Để lại một bình luận