Cho hàm số f(x) = (x² − 2x)·e^x trên đoạn [0; 2]. Chứng minh rằng f(x) ≤ 0 trên [0; 2], tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox, rồi tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Oy.

Phân tích Đề bài

Đề bài đưa ra hàm số f(x) = (x² − 2x)·eˣ trên đoạn [0; 2] và yêu cầu ba phần chính:

• Phần a: Chứng minh f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ [0; 2]. Đây là bước phân tích dấu của hàm số để xác định hình phẳng nằm bên dưới trục Ox.
• Phần b: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox. Vì f(x) ≤ 0, ta cần lấy giá trị tuyệt đối khi tích phân.
• Phần c: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy — sử dụng phương pháp vỏ trụ (phương pháp cylindrical shell).

Các khái niệm liên quan:

• Phân tích dấu hàm số: Ta phân tích f(x) = x(x − 2)·eˣ. Trên [0; 2], ta có x ≥ 0, (x − 2) ≤ 0, và eˣ > 0 với mọi x, nên tích f(x) ≤ 0.
• Diện tích hình phẳng: Khi đồ thị nằm dưới trục Ox, diện tích được tính bằng S = −∫₀² f(x) dx = ∫₀² |f(x)| dx.
• Tích phân từng phần (Integration by Parts): Công thức ∫u dv = uv − ∫v du, hoặc sử dụng công thức tổng quát ∫P(x)·eˣ dx = eˣ[P(x) − P'(x) + P”(x) − …] khi P(x) là đa thức.
• Thể tích quay quanh trục Oy bằng phương pháp vỏ trụ: V = 2π ∫ₐᵇ x·|f(x)| dx.

📌 Gợi ý đồ thị: Hình phẳng được giới hạn bởi parabol bậc hai nhân với hàm mũ eˣ, có đồ thị hoàn toàn nằm dưới trục Ox trên đoạn [0; 2], cắt trục hoành tại x = 0 và x = 2. [IMAGE: Đồ thị hàm số f(x) = (x² − 2x)eˣ, thể hiện phần tô đậm giới hạn bởi đồ thị và trục Ox trên [0; 2]]

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận:

Với phần a, ta phân tích nhân tử để xét dấu. Với phần b, ta sử dụng công thức tích phân từng phần dạng đa thức nhân eˣ. Với phần c, ta áp dụng phương pháp vỏ trụ vì quay quanh trục Oy.

Tại sao dùng phương pháp này:

• Công thức ∫P(x)·eˣ dx = eˣ[P − P’ + P” − …] giúp tính nhanh mà không cần thực hiện nhiều lần tích phân từng phần.
• Phương pháp vỏ trụ tiện lợi khi quay quanh Oy, tránh phải đổi biến x = g(y).

Lời giải chi tiết:

Phần a: Chứng minh f(x) ≤ 0 trên [0; 2]

Ta có f(x) = x(x − 2)·eˣ.

Trên đoạn [0; 2]:

• x ≥ 0 (vì x ∈ [0; 2])
• x − 2 ≤ 0 (vì x ≤ 2)
• eˣ > 0 (với mọi x ∈ ℝ)

Do đó tích x · (x − 2) · eˣ ≤ 0, tức f(x) ≤ 0 trên [0; 2]. Dấu “=” xảy ra khi x = 0 hoặc x = 2. ∎

Phần b: Tính diện tích hình phẳng

Diện tích cần tìm:

S = ∫₀² |f(x)| dx = −∫₀² (x² − 2x)·eˣ dx = ∫₀² (2x − x²)·eˣ dx

Áp dụng công thức ∫P(x)·eˣ dx với P(x) = 2x − x²:

• P(x) = 2x − x²
• P'(x) = 2 − 2x
• P”(x) = −2
• P”'(x) = 0 (dừng)

Suy ra: ∫(2x − x²)·eˣ dx = eˣ[(2x − x²) − (2 − 2x) + (−2)] + C

= eˣ[2x − x² − 2 + 2x − 2] + C

= −eˣ(x² − 4x + 4) + C = −eˣ(x − 2)² + C

Tính giá trị từ 0 đến 2:

S = [−eˣ(x − 2)²]₀² = [−e² · (0)²] − [−e⁰ · (0 − 2)²] = 0 − (−1 · 4) = 4 (đvdt)

💡 Kiểm tra: Diện tích dương (bằng 4), phù hợp vì hình phẳng nằm bên dưới trục Ox. Giá trị eˣ tại x = 0 bằng 1 nên phép tính gọn hơn rất nhiều. [IMAGE: Hình tô đậm biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi f(x) và trục Ox, với các giới hạn x = 0 và x = 2]

Phần c: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Sử dụng phương pháp vỏ trụ (shell method):

V = 2π ∫₀² x · |f(x)| dx = 2π ∫₀² x · (2x − x²) · eˣ dx = 2π ∫₀² (2x² − x³) · eˣ dx

Áp dụng công thức ∫P(x)·eˣ dx với P(x) = 2x² − x³:

• P(x) = 2x² − x³
• P'(x) = 4x − 3x²
• P”(x) = 4 − 6x
• P”'(x) = −6
• P””(x) = 0 (dừng)

Suy ra: ∫(2x² − x³)·eˣ dx = eˣ[P(x) − P'(x) + P”(x) − P”'(x)] + C

= eˣ[(2x² − x³) − (4x − 3x²) + (4 − 6x) − (−6)] + C

= eˣ[2x² − x³ − 4x + 3x² + 4 − 6x + 6] + C

= eˣ(−x³ + 5x² − 10x + 10) + C

Tính giá trị từ 0 đến 2:

Tại x = 2: e²(−8 + 20 − 20 + 10) = 2e²

Tại x = 0: e⁰(0 + 0 − 0 + 10) = 10

Vậy: ∫₀² (2x² − x³)·eˣ dx = 2e² − 10

V = 2π(2e² − 10) = 4π(e² − 5) (đvtt)

📊 Kết quả tổng kết: [IMAGE: Hình minh họa khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy, dùng phương pháp vỏ trụ. Trục quay là Oy, các vỏ trụ song song với Oy]

Cách Giải Khác

1. Tích phân từng phần trực tiếp (không dùng công thức thu gọn)

Thay vì sử dụng công thức ∫P(x)eˣ dx = eˣ[P − P’ + P” − …], ta có thể áp dụng tích phân từng phần nhiều lần.

Ứng dụng cho phần b: Tính ∫₀² (2x − x²)·eˣ dx

Lần 1: Đặt u = 2x − x², dv = eˣ dx → du = (2 − 2x)dx, v = eˣ

= [(2x − x²)eˣ]₀² − ∫₀² (2 − 2x)eˣ dx = 0 − ∫₀² (2 − 2x)eˣ dx

Lần 2: Đặt u = 2 − 2x, dv = eˣ dx → du = −2dx, v = eˣ

= −{[(2 − 2x)eˣ]₀² + 2∫₀² eˣ dx} = −{(−2e² − 2) + 2(e² − 1)} = −{−2e² − 2 + 2e² − 2} = 4 ✓

2. Phương pháp đổi biến cho phần c

Thay vì vỏ trụ, ta có thể dùng phương pháp đĩa/washer khi quay quanh Oy. Tuy nhiên, điều này yêu cầu biểu diễn x theo y từ phương trình y = (x² − 2x)eˣ — không khả thi vì hàm này không dễ đảo ngược. Do đó, phương pháp vỏ trụ là lựa chọn duy nhất hợp lý cho bài toán này.

⚠️ Lưu ý: Khi chọn phương pháp tính thể tích, luôn kiểm tra xem đồ thị có dễ biểu diễn ngược hay không. Nếu không, vỏ trụ thường là phương pháp tối ưu. [IMAGE: So sánh phương pháp đĩa (phải) và phương pháp vỏ trụ (trái) khi quay quanh Oy]

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính diện tích:

Nhiều học sinh tính trực tiếp ∫₀² f(x) dx thay vì ∫₀² |f(x)| dx. Vì f(x) ≤ 0 trên [0; 2], tích phân trực tiếp cho kết quả −4 (sai!). Diện tích phải luôn là số dương, ta cần lấy −∫₀² f(x) dx = 4.

2. Sai dấu khi áp dụng công thức thu gọn ∫P(x)eˣ dx:

Công thức là: eˣ[P(x) − P'(x) + P”(x) − P”'(x) + …]. Học sinh thường quên dấu trừ xen kẽ hoặc viết nhầm thành cộng toàn bộ. Hãy nhớ quy tắc: trừ, cộng, trừ, cộng,… khi đi từ đạo hàm bậc 1 trở đi.

3. Nhầm lẫn công thức vỏ trụ:

Công thức vỏ trụ quay quanh Oy là V = 2π∫ x·|f(x)| dx, không phải π∫ x²·|f(x)| dx. Bán kính của mỗi vỏ trụ là x (khoảng cách từ trục Oy), không phải x².

4. Sai miền tích phân:

Một số học sinh tìm sai miền tích phân bằng cách giải f(x) = 0 nhưng quên kiểm tra xem nghiệm có nằm trong [0; 2] hay không. Ở bài này, f(x) = 0 tại x = 0 và x = 2 — trùng với biên đoạn — nên không tạo thêm nghiệm bên trong.

💡 Mẹo ghi nhớ: Trước khi tính tích phân bất kỳ, hãy vẽ sơ đồ dấu của hàm số để xác định hàm dương hay âm trên miền cho trước. [IMAGE: Bảng xét dấu hàm f(x) = x(x−2)eˣ trên trục số, thể hiện dấu âm trên (0; 2)]

Bài tập Luyện tập

Dưới đây là 5 bài tập tương tự giúp bạn củng cố kiến thức về tích phân từng phần và ứng dụng của tích phân.

1. Tính tích phân: I = ∫₀¹ (3x² − 2x)·eˣ dx

→ Lời giải: Áp dụng công thức ∫P(x)eˣ dx với P(x) = 3x² − 2x, P'(x) = 6x − 2, P”(x) = 6:

I = [eˣ(3x² − 2x − 6x + 2 + 6)]₀¹ = [eˣ(3x² − 8x + 8)]₀¹ = e(3 − 8 + 8) − 1·8 = 3e − 8

2. Tính tích phân: I = ∫₀^π x·sin(x) dx

→ Lời giải: Tích phân từng phần: u = x, dv = sin(x)dx → du = dx, v = −cos(x)

I = [−x·cos(x)]₀^π + ∫₀^π cos(x) dx = π + [sin(x)]₀^π = π + 0 − 0 = π

3. Tính tích phân: I = ∫₁^e (x² − 1)·ln(x) dx

→ Lời giải: Tích phân từng phần: u = ln(x), dv = (x² − 1)dx

du = dx/x, v = x³/3 − x

I = [(x³/3 − x)·ln(x)]₁^e − ∫₁^e (x²/3 − 1) dx = (e³/3 − e) − [x³/9 − x]₁^e = (e³/3 − e) − (e³/9 − e − 1/9 + 1) = (2e³ − 8)/9

4. Tính tích phân: I = ∫₀¹ (x² + 1)·e^(−x) dx

→ Lời giải: Áp dụng ∫P(x)e^(−x) dx = −e^(−x)[P(x) + P'(x) + P”(x) + …] với P(x) = x² + 1, P'(x) = 2x, P”(x) = 2:

I = [−e^(−x)(x² + 2x + 3)]₀¹ = −e^(−1)·6 + 1·3 = 3 − 6/e

5. Tính tích phân: I = ∫₀^π x²·sin(x) dx

→ Lời giải: Tích phân từng phần hai lần: u = x², dv = sin(x)dx

I = [−x²·cos(x)]₀^π + 2∫₀^π x·cos(x) dx = π² + 2{[x·sin(x)]₀^π − ∫₀^π sin(x) dx} = π² + 2(0 − 2) = π² − 4 [IMAGE: Mẫu giải chi tiết từng bước tích phân từng phần cho bài tập luyện tập]

✅ Ghi nhớ quy trình giải bài toán tích phân tổng hợp: [IMAGE: Sơ đồ tư duy giải bài toán tích phân — từ phân tích đề → chọn phương pháp → tính toán → kiểm tra]