Tích phân

Phân tích Đề bài

Đề bài: Cho hàm số f(x) = (x² − 1)·eˣ trên đoạn [0; 2].

• a) Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của f(x) trên [0; 2].
• b) Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx.
• c) Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x) và trục Ox.
• d) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H quanh trục Ox.

Dữ kiện cho trước và điều kiện

Hàm số f(x) = (x² − 1)·eˣ được xác định và liên tục trên toàn bộ ℝ, do đó liên tục trên đoạn [0; 2]. Ta có thể phân tích: f(x) = (x − 1)(x + 1)eˣ. Trên đoạn [0; 2], ta nhận thấy các yếu tố sau:

• Hệ số (x + 1): luôn dương khi x ∈ [0; 2], vì x + 1 ≥ 1 > 0.
• Hệ số eˣ: luôn dương với mọi x ∈ ℝ.
• Hệ số (x − 1): âm khi x ∈ [0; 1), bằng 0 khi x = 1, dương khi x ∈ (1; 2].

Do đó, dấu của f(x) trên [0; 2] hoàn toàn phụ thuộc vào nhân tử (x − 1). Cụ thể: f(x) < 0 khi x ∈ [0; 1), f(1) = 0, và f(x) > 0 khi x ∈ (1; 2]. Đây là điểm mấu chốt cần nhớ khi tính diện tích hình phẳng.

Yêu cầu của bài toán

Bài toán yêu cầu kết hợp nhiều kỹ năng tích phân khác nhau: khảo sát hàm số để xác định dấu và cực trị; tính tích phân xác định bằng phương pháp tích phân từng phần; phân biệt giữa giá trị của tích phân (có dấu) và diện tích hình phẳng (luôn dương); cuối cùng là áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay. Đây là dạng toán tổng hợp thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và kiểm tra cuối kì đại học.

Các khái niệm liên quan

• Phương pháp tích phân từng phần: dựa trên công thức ∫u dv = uv − ∫v du, được suy ra từ quy tắc đạo hàm tích. Được dùng khi tích phân có dạng tích của hai loại hàm khác nhau (ví dụ: đa thức nhân hàm mũ, đa thức nhân hàm lượng giác).
• Diện tích hình phẳng: Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Nếu f(x) đổi dấu, ta phải tách tích phân tại các điểm f(x) = 0 và lấy giá trị tuyệt đối.
• Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Công thức này sử dụng [f(x)]² nên không phụ thuộc vào dấu của f(x).
• Quy tắc lũy thừa của tích phân: Với tích phân dạng ∫P(x)e^ax dx, ta có thể sử dụng phương pháp bảng (tabular integration) — một dạng rút gọn của tích phân từng phần lặp đi lặp lại.

—

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận và chiến lược

Đối với bài toán này, chiến lược tổng thể gồm bốn bước: (1) Tính đạo hàm f'(x) để khảo sát biến thiên; (2) Áp dụng tích phân từng phần để tìm nguyên hàm; (3) Tách tích phân theo dấu để tính diện tích chính xác; (4) Mở rộng sang tích phân bậc cao cho thể tích khối tròn xoay. Việc xác định đúng dấu của f(x) là chìa khóa để tránh sai lầm ở bước (3).

Lời giải chi tiết từng bước

Bước 1: Khảo sát sự biến thiên và cực trị

Tính đạo hàm:

f'(x) = 2x·eˣ + (x² − 1)·eˣ = (x² + 2x − 1)·eˣ

Vì eˣ > 0 với mọi x, dấu của f'(x) phụ thuộc vào tam thức x² + 2x − 1.

Giải phương trình x² + 2x − 1 = 0, ta được x = −1 ± √2.

Trên đoạn [0; 2], nghiệm duy nhất là x₀ = −1 + √2 ≈ 0,414.

Xét dấu f'(x):

• Với x ∈ [0; √2 − 1): x² + 2x − 1 < 0 → f'(x) < 0 → f nghịch biến.
• Với x ∈ (√2 − 1; 2]: x² + 2x − 1 > 0 → f'(x) > 0 → f đồng biến.

Vậy x₀ = √2 − 1 là điểm cực tiểu của f trên [0; 2], với f(√2 − 1) = 2(1 − √2)·e^(√2−1) ≈ −1,52.

Giá trị tại biên: f(0) = −1, f(2) = 3e² ≈ 22,17. Đồ thị cắt trục Ox tại x = 1 vì f(1) = 0.

Bước 2: Tính tích phân I = ∫₀² (x² − 1)eˣ dx

Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

• u = x² − 1 → du = 2x dx
• dv = eˣ dx → v = eˣ

Áp dụng công thức ∫u dv = uv − ∫v du:

∫(x² − 1)eˣ dx = (x² − 1)eˣ − ∫2x·eˣ dx

Tích phân ∫2x·eˣ dx cũng cần tích phân từng phần lần nữa:

• u = 2x → du = 2 dx
• dv = eˣ dx → v = eˣ

∫2x·eˣ dx = 2x·eˣ − ∫2eˣ dx = 2x·eˣ − 2eˣ + C = 2(x − 1)eˣ + C

Thay lại:

∫(x² − 1)eˣ dx = (x² − 1)eˣ − 2(x − 1)eˣ + C = eˣ[(x² − 1) − 2(x − 1)] + C = (x − 1)²·eˣ + C

Ta có thể kiểm tra bằng cách đạo hàm: d/dx[(x−1)²eˣ] = 2(x−1)eˣ + (x−1)²eˣ = (x−1)(2+x−1)eˣ = (x−1)(x+1)eˣ = (x²−1)eˣ ✓

Tính tích phân xác định:

I = [(x − 1)²·eˣ]₀² = (2 − 1)²·e² − (0 − 1)²·e⁰ = e² − 1

Kết quả: I = e² − 1 ≈ 6,389

Bước 3: Tính diện tích S

Như đã phân tích ở phần trên, f(x) < 0 trên [0; 1) và f(x) > 0 trên (1; 2]. Khi tính diện tích, ta phải lấy giá trị tuyệt đối:

S = −∫₀¹ (x² − 1)eˣ dx + ∫₁² (x² − 1)eˣ dx

∫₀¹ (x² − 1)eˣ dx = [(x − 1)²eˣ]₀¹ = 0²·e − (−1)²·1 = 0 − 1 = −1

∫₁² (x² − 1)eˣ dx = [(x − 1)²eˣ]₁² = (1)²·e² − 0²·e = e²

Vậy:

S = −(−1) + e² = 1 + e² ≈ 8,389

Lưu ý quan trọng: Giá trị tích phân I = e² − 1 ≠ S = e² + 1. Sai số đúng bằng |−1| + |−1| = 2 (gấp đôi phần diện tích dưới trục Ox). Đây là bẫy thường gặp nhất!

Bước 4: Tính thể tích V

Thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Ox:

V = π∫₀² [f(x)]² dx = π∫₀² (x² − 1)²·e^2x dx = π∫₀² (x⁴ − 2x² + 1)·e^2x dx

Để tính tích phân này, ta sử dụng phương pháp bảng (tabular integration) — một cách trình bày gọn của tích phân từng phần lặp lại:

Tách từng thành phần theo phương pháp bảng:

• Đạo hàm lũy thừa (cột D): x⁴ − 2x² + 1 → 4x³ − 4x → 12x² − 4 → 24x → 24 → 0
• Nguyên hàm e^2x (cột I): e^2x/2 → e^2x/4 → e^2x/8 → e^2x/16 → e^2x/32

Kết hợp với dấu xen kẽ (+, −, +, −, +):

∫(x⁴ − 2x² + 1)e^2x dx = e^2x · (2x⁴ − 4x³ + 2x² − 2x + 3)/4 + C

Kiểm chứng bằng đạo hàm:

d/dx [e^2x(2x⁴ − 4x³ + 2x² − 2x + 3)/4] = e^2x[(4x⁴ − 8x³ + 4x² − 4x + 6) + (8x³ − 12x² + 4x − 2)]/4 = e^2x(4x⁴ − 8x² + 4)/4 = (x² − 1)²e^2x ✓

Thay cận:

Tại x = 2: e⁴(32 − 32 + 8 − 4 + 3)/4 = 7e⁴/4

Tại x = 0: (0 − 0 + 0 − 0 + 3)/4 = 3/4

Vậy: V = π(7e⁴/4 − 3/4) = π(7e⁴ − 3)/4 ≈ 297,8 (đvtt)

Đáp số:

• b) I = e² − 1
• c) S = e² + 1
• d) V = π(7e⁴ − 3)/4

—

Cách Giải Khác

Phương pháp 1: Sử dụng công thức tổng quát ∫P(x)e^ax dx

Thay vì thực hiện tích phân từng phần từng bước, ta áp dụng trực tiếp công thức: ∫P(x)eˣ dx = [P(x) − P'(x) + P”(x) − … + (−1)ⁿP⁽ⁿ⁾(x)]eˣ + C, trong đó P(x) là đa thức bậc n.

Với P(x) = x² − 1: P'(x) = 2x, P”(x) = 2, P”'(x) = 0.

∫(x² − 1)eˣ dx = [(x² − 1) − 2x + 2]eˣ = (x² − 2x + 1)eˣ = (x − 1)²eˣ + C ✓

Ưu điểm: Nhanh, gọn, ít tính toán sai. Nhược điểm: Học sinh cần nhớ đúng công thức (dấu xen kẽ bắt đầu bằng dấu +).

Phương pháp 2: Đổi biến số cho tích phân thể tích

Đối với tích phân ∫(x² − 1)²e^2x dx, ta có thể đặt t = 2x (tức x = t/2) để đưa về dạng e^t, áp dụng công thức tổng quát với e^t thay vì e^2x. Cách này tránh được các phân số 1/2, 1/4, 1/8,… trong phương pháp bảng, giúp tính toán nhẹ nhàng hơn.

So sánh: Phương pháp bảng trực tiếp dễ hình dung và có hệ thống, phù hợp khi học sinh chưa thuộc công thức tổng quát. Phương pháp đổi biến kết hợp công thức tổng quát nhanh hơn nhưng đòi hỏi sự thành thạo cao hơn.

—

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Nhầm lẫn giữa tích phân và diện tích:

Đây là sai lầm nghiêm trọng nhất. Tích phân ∫₀² f(x) dx = e² − 1 ≈ 6,39 (có thể âm phần), trong khi diện tích S = e² + 1 ≈ 8,39 (luôn dương). Nếu học sinh trả lời S = e² − 1, nghĩa là đã bỏ sót phần diện tích phía dưới trục Ox trên đoạn [0; 1]. Khi f(x) đổi dấu, bắt buộc phải tách tích phân tại nghiệm của f(x) = 0.

2. Sai dấu khi lấy giá trị tuyệt đối:

Trên đoạn [0; 1], f(x) < 0 nên ∫₀¹ f(x) dx = −1. Khi tính diện tích, ta lấy |−1| = 1, không phải −1. Nhiều học sinh quên đổi dấu ở phần này.

3. Sai công thức thể tích quay quanh trục Ox:

Công thức đúng là V = π∫[f(x)]² dx, không phải V = π∫f(x) dx. Sai lầm này xuất phát từ việc nhầm lẫn giữa công thức diện tích và công thức thể tích. Cần nhớ: thể tích luôn liên quan đến phép bình phương bán kính.

4. Sai trong tích phân từng phần — chọn sai u và dv:

Nguyên tắc chung (viết tắt: LOG — Logarit, Số mũ mũ, mũ (e^x, a^x), đa thức, còn lại là dv): Khi gặp tích đa thức × hàm mũ, đặt u = đa thức và dv = hàm mũ dx. Nếu đặt ngược lại, tích phân sẽ phức tạp hơn thay vì đơn giản hóa.

5. Sai đạo hàm khi tính f'(x):

f(x) = (x² − 1)eˣ là tích của hai hàm, cần dùng quy tắc đạo hàm tích: f'(x) = (x² − 1)’eˣ + (x² − 1)(eˣ)’ = 2x·eˣ + (x² − 1)eˣ. Quên nhân eˣ ở một trong hai hạng tử là lỗi phổ biến.

6. Quên kiểm tra nghiệm của f(x) = 0 trước khi tính diện tích:

Trước khi tính diện tích, luôn phải giải phương trình f(x) = 0 trên đoạn [a; b] để xác định các điểm đổi dấu. Nếu bỏ qua bước này, kết quả diện tích sẽ sai.

—

Bài tập Luyện tập

Dưới đây là 5 bài tập có dạng tương tự để các em luyện tập và củng cố kiến thức.

1. [Đề bài] Tính tích phân ∫₀¹ x²·eˣ dx.

→ Lời giải: Dùng tích phân từng phần hai lần (hoặc công thức ∫P(x)eˣdx): ∫x²eˣdx = (x² − 2x + 2)eˣ + C. Thay cận: I = (1 − 2 + 2)e − 2 = e − 2.

2. [Đề bài] Tính tích phân ∫₀^π/2 x·cos x dx.

→ Lời giải: Đặt u = x, dv = cosx dx → du = dx, v = sinx. Ta có: ∫x·cosx dx = x·sinx + cosx + C. Thay cận: I = [x·sinx + cosx]₀^π/2 = (π/2·1 + 0) − (0 + 1) = π/2 − 1.

3. [Đề bài] Cho hàm số f(x) = x³ − x trên đoạn [0; 2]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) và trục Ox.

→ Lời giải: f(x) = x(x − 1)(x + 1). Trên [0; 2]: f(x) = 0 tại x = 1, f(x) < 0 trên (0; 1), f(x) > 0 trên (1; 2). ∫(x³−x)dx = x⁴/4 − x²/2 + C. Trên [0;1]: ∫₀¹ = 1/4 − 1/2 = −1/4 → |−1/4| = 1/4. Trên [1;2]: ∫₁² = (4 − 2) − (1/4 − 1/2) = 2 + 1/4 = 9/4. Vậy S = 1/4 + 9/4 = 10/4 = 5/2.

4. [Đề bài] Tính tích phân J = ∫₁^e ln²(x) dx.

→ Lời giải: Đặt u = ln²x, dv = dx → du = 2lnx/x dx, v = x. J = [x·ln²x]₁^e − 2∫₁^e lnx dx = e·1 − 2[x·lnx − x]₁^e = e − 2[(e − e) − (0 − 1)] = e − 2. Vậy J = e − 2.

5. [Đề bài] Cho hàm số g(x) = (x − 2)² trên [0; 3]. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C): y = g(x) và trục Ox quanh trục Ox.

→ Lời giải: Vì g(x) ≥ 0 trên [0; 3], ta có: V = π∫₀³ (x − 2)⁴ dx = π·[(x − 2)⁵/5]₀³ = π·[1/5 − (−2)⁵/5] = π·[1/5 + 32/5] = π·33/5 = 33π/5.