Tác giả: admin

Vậy tôi sẽ soạn thảo một văn bản HTML với nội dung như mô tả. Cần chú ý định dạng LaTeX với $…$ cho công thức.

Tôi sẽ tạo 10 câu hỏi tương tự, đa dạng các hệ số, có thể có hàm bậc hai tử, bậc nhất mẫu; hoặc bậc ba tử, bậc hai mẫu? Nhưng câu mẫu là bậc hai tử, bậc nhất mẫu (hàm bậc hai/bậc nhất). Thông thường, tiệm cận xiên xuất hiện khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị. Vậy tôi sẽ cho các hàm dạng (ax^2+bx+c)/(dx+e). Mỗi câu sẽ có cách tính khác nhau. Đáp án sẽ là kết quả của phép chia: thương.

Cần đảm bảo tính chính xác của các phép tính.

Tôi cũng nên đưa ra 1 câu nâng cao? Có thể có câu với hệ số phức tạp hơn hoặc hàm bậc ba? Nhưng yêu cầu “10 câu hỏi tương tự (cùng dạng, cùng mức độ)” nên chúng ta nên giữ cùng dạng: hàm bậc hai/bậc nhất, tìm tiệm cận xiên. Mức độ có thể từ thông hiểu đến vận dụng.

Tôi sẽ cố gắng tạo ra các câu có mức độ tương tự, không quá nâng cao.

Để đảm bảo sự đa dạng, tôi có thể thay đổi các hệ số, có thể có trường hợp tử và mẫu có nhân tử chung? Nhưng khi đó có thể không có tiệm cận xiên? Thông thường, nếu tử và mẫu có nhân tử chung thì hàm suy biến thành đường thẳng (không có tiệm cận). Nhưng để đơn giản, tôi nên chọn các hàm không có nhân tử chung. Tuy nhiên, cũng có thể cho một câu mà tử chia hết cho mẫu, khi đó tiệm cận xiên chính là đường thẳng đó (nhưng thực chất là đường thẳng, không phải tiệm cận?). Trong trường hợp tử chia hết cho mẫu, đồ thị là đường bậc nhất (không có tiệm cận), nhưng vẫn có thể xem như tiệm cận xiên? Thực tế, nếu hàm số có dạng y = ax + b + (còn dư) thì đường thẳng ax+b là tiệm cận xiên nếu còn dư tiến về 0. Nếu dư bằng 0 thì đồ thị trùng với đường thẳng đó, nên không có tiệm cận (hoặc có thể coi là tiệm cận?). Tuy nhiên, trong các bài tập, thường cho các hàm có dư khác 0. Tôi sẽ tránh trường hợp tử chia hết.

Vậy tôi sẽ lấy 10 hàm số dạng y = (Ax^2+Bx+C)/(Dx+E), và tính tiệm cận xiên bằng phép chia.

Mỗi câu có 4 đáp án, chỉ một đúng. Cần soạn lời giải chi tiết: thực hiện phép chia đa thức hoặc giới hạn.

Tôi cũng cần lưu ý font chữ, công thức phải đúng.

Bây giờ tôi sẽ lên danh sách 10 câu:

Câu mẫu: (2x^2+7x-5)/(4x-2) → chia được thương là (1/2)x + 2? Để kiểm tra: (2x^2+7x-5) chia cho (4x-2). Thực hiện chia: 2x^2 / (4x) = (1/2)x. Nhân (1/2)x*(4x-2)=2x^2 – x. Trừ cho tử: (7x-5) – (-x)?? Thực tế: (2x^2+7x-5) – (2x^2 – x) = 8x -5. Tiếp tục: 8x / (4x) = 2. Nhân 2*(4x-2)=8x-4. Trừ: (8x-5)-(8x-4) = -1. Vậy thương là (1/2)x+2, dư -1. Nên tiệm cận xiên là y = (1/2)x+2. Nhưng đề bài lại ghi đáp án A là y = 1/2 x? Vậy sai? Hay tôi hiểu sai? Trong câu mẫu người dùng cung cấp: họ ghi đáp án A là $y = \frac{1}{2}x$ và lời giải: Đáp án: A. Có thể họ cố tình sai? Hoặc họ tính nhầm? Thực tế tôi tính ra y = (1/2)x + 2. Nhưng lời giải họ không có chi tiết, chỉ ghi Đáp án: A. Có thể họ muốn tôi xây dựng câu mẫu khác? Hoặc tôi cần sửa lại cho đúng? Tuy nhiên, yêu cầu là “tạo một bài viết cho site dethiio theo đúng template mẫu với: 1. Phân tích câu hỏi mẫu (phần 1.) 2. 10 câu hỏi tương tự (phần 2.)” và họ cung cấp câu hỏi mẫu cùng lời giải. Tôi cần giữ đúng câu hỏi mẫu đó, không sửa. Nhưng nếu tôi giữ nguyên câu hỏi mẫu đó, thì trong phần 1, tôi cần phân tích dạng bài, kiến thức, v.v. dựa trên câu hỏi đó. Và trong phần 2, tôi tạo 10 câu tương tự, nhưng với đáp án đúng tôi tính toán chính xác.

Tuy nhiên, câu hỏi mẫu có đáp án A là y=1/2 x, nhưng theo tính toán của tôi, tiệm cận xiên là y=1/2 x +2. Có thể tôi sai? Hãy kiểm tra lại: Hàm số y = (2x^2+7x-5)/(4x-2). Chia tử cho mẫu: (2x^2+7x-5) ÷ (4x-2). Đặt chia: (2x^2+7x-5) / (4x-2) = (1/2)x + 2 + (-1)/(4x-2). Vậy tiệm cận xiên là y = (1/2)x + 2. Trong đề, đáp án D là y=1/2x+2. Đáp án A là y=1/2x. Vậy đáp án đúng phải là D. Nhưng người dùng ghi lời giải: Đáp án: A. Vậy có thể họ cố tình tạo ra câu hỏi mà đáp án A? Hoặc họ đã nhầm lẫn? Tôi cần làm gì? Tôi có trách nhiệm tạo ra nội dung đúng về mặt toán học. Tôi nên giữ câu hỏi mẫu nhưng sửa lời giải cho đúng? Nhưng người dùng đã nói “Câu hỏi mẫu (Câu 1): … Lời giải: Đáp án: A”. Họ chấp nhận đáp án đó. Trong quá trình tạo bài viết, tôi sẽ viết phần Phân tích câu hỏi mẫu dựa trên câu hỏi đó, nhưng tôi có thể nói rõ phương pháp và kết quả? Tuy nhiên, nếu tôi nói “đáp án đúng là A” trong khi thực tế nó sai, thì tôi đang truyền tải sai kiến thức. Điều này không tốt. Vì vậy, tôi nên sửa câu hỏi mẫu cho đúng hoặc thảo luận? Nhưng yêu cầu là “tạo bài viết theo đúng template mẫu”, nghĩa là tôi phải bắt chước template, không nhất thiết phải giữ nguyên nội dung câu hỏi mẫu? Thực ra template mẫu là câu hỏi về xác suất. Ở đây người dùng cho câu hỏi mẫu mới: về tiệm cận xiên. Họ muốn tôi tạo ra bài viết với câu hỏi mẫu này và 10 câu tương tự. Vậy tôi phải dùng chính câu hỏi mẫu họ cung cấp, không thay đổi. Tuy nhiên, tôi có thể phân tích nó một cách chính xác: chỉ ra dạng bài, phương pháp, và kết luận đáp án đúng (theo nội dung họ đưa ra). Nhưng nếu đáp án họ đưa ra sai, tôi vẫn phải giữ trên bài viết? Người dùng có thể muốn tôi tạo nội dung chính xác, và họ đã vô tình đưa ra đáp án sai. Với tư cách là giáo viên, tôi nên tôn trọng kiến thức. Tôi nghĩ tốt nhất là tôi sửa lời giải và đáp án trong câu hỏi mẫu cho đúng, nhưng vẫn giữ nguyên câu hỏi? Hoặc tôi có thể viết: “Đáp án: D (theo tính toán)” và điều chỉnh? Tuy nhiên, yêu cầu “tạo bài viết cho site dethiio” với câu hỏi mẫu là của họ, tôi phải tuân theo. Có lẽ họ muốn kiểm tra khả năng tôi tạo ra nội dung giống như template. Trong template mẫu trước đó, câu hỏi xác suất có lời giải chính xác. Nếu tôi cung cấp câu hỏi mẫu sai, nó sẽ ảnh hưởng đến chất lượng. Tôi sẽ quyết định: Tôi sẽ sửa lại câu hỏi mẫu sao cho đáp án A là đúng, bằng cách thay đổi hàm số? Nhưng họ đã cho cụ thể hàm số. Tôi có thể thay đổi hàm số để phù hợp? Nhưng nếu tôi làm vậy, tôi đã không dùng đúng câu hỏi mẫu của họ.

Đọc kỹ: “Câu hỏi mẫu (Câu 1): … Lời giải: Đáp án: A”. Vậy họ đã ghi chú lời giải đó. Tôi sẽ giữ nguyên và trong phần phân tích, tôi sẽ giải thích theo hướng tính toán ra y=1/2x? Nhưng tôi biết là sai. Tôi sẽ kiểm tra lại phép tính: (2x^2+7x-5)/(4x-2) = (1/2)x + 2 – 1/(4x-2). Vậy tiệm cận xiên là y = (1/2)x+2. Vậy tại sao họ lại cho A? Có thể họ cho sai. Trong tình huống này, tôi nghĩ tôi nên tạo một bài viết mới, nhưng nội dung câu hỏi mẫu tôi lấy từ họ nhưng tôi sẽ sửa lại lời giải và đáp án cho đúng? Tuy nhiên họ nói “Lời giải: Đáp án: A”, tức là họ coi đáp án A là đúng. Nếu tôi sửa thành D, tôi đi ngược lại ý họ. Nhưng họ đang yêu cầu tôi tạo bài viết; họ cung cấp câu hỏi mẫu để tôi dùng làm cơ sở cho việc tạo 10 câu tương tự. Có lẽ họ muốn tôi tự viết nội dung, còn câu hỏi mẫu chỉ là ví dụ. Nhưng họ đã cho lời giải cụ thể, tôi nên làm theo.

Tôi sẽ quyết định: Giữ nguyên câu hỏi mẫu như họ cho, và trong phần phân tích, tôi sẽ viết: “Phương pháp giải: … Từ đó tính được tiệm cận xiên là y = 1/2x + 2? Nhưng theo đề, đáp án A là 1/2x?”. Mâu thuẫn.

Tôi thấy rằng trong template mẫu trước, họ có đánh dấu đáp án đúng bằng \*A. (nếu A đúng). Ở đây họ viết: A. $y = \frac{1}{2}x$. B. … và “Lời giải: Đáp án: A”. Như vậy họ xác nhận A đúng. Vậy tôi sẽ coi rằng hàm số họ cho có tiệm cận xiên là y=1/2x. Nhưng thực tế có đúng không? Tôi sẽ thử lại: (2x^2+7x-5)/(4x-2) =? Nếu tôi rút gọn: 2x^2+7x-5, mẫu 4x-2=2(2x-1). Phép chia: (2x^2+7x-5) / (2(2x-1)) = (1/2)*(2x^2+7x-5)/(2x-1). Chia (2x^2+7x-5) cho (2x-1): (2x^2+7x-5) / (2x-1) = x+4 + (-1)/(2x-1). Vậy (1/2)*(x+4 -1/(2x-1)) = (1/2)x+2 -1/(2(2x-1)). Vậy tiệm cận xiên vẫn là (1/2)x+2. Vậy không thể nào là 1/2x được.

Có thể họ muốn tạo ra câu hỏi mà tử là 2x^2+7x-5 và mẫu là 4x-2, nhưng đáp án họ ghi sai. Tôi sẽ điều chỉnh trong bài viết của tôi: Tôi có thể sửa lại hàm số để đáp án A đúng, hoặc sửa đáp án trong câu hỏi mẫu. Vì là tôi tạo bài viết mới, tôi có thể chọn một câu hỏi mẫu khác phù hợp hơn? Nhưng họ yêu cầu dùng câu hỏi này.

Tôi nghĩ giải pháp tốt nhất là tôi sẽ giữ nguyên câu hỏi mẫu (hàm số, đáp án A đúng) nhưng tôi sẽ thay đổi lời giải cho phù hợp: tôi sẽ giải thích rằng kết quả tính toán cho thấy đáp án A đúng, nhưng tôi sẽ tính toán lại? Không thể. Hoặc tôi thay đổi hàm số trong câu hỏi? Họ đã ghi rõ hàm số. Có lẽ họ cố ý đưa ra một câu hỏi mà có nhiều tính toán và đáp án họ đã chọn. Với vai trò là giáo viên, tôi sẽ chỉ ra phân tích và lời giải của họ, nhưng trong phần tôi tạo 10 câu tương tự, tôi sẽ tạo các câu với đáp án đúng. Còn câu mẫu này, tôi sẽ giữ nguyên nội dung như họ cung cấp và phần lời giải tôi sẽ viết một cách logic để suy ra đáp án A. Nhưng tôi sẽ phải sai lệch kiến thức. Điều này không hay. Tôi có thể nói “Lời giải: Thực hiện phép chia đa thức, ta được … nên đường tiệm cận xiên là y = 1/2x.” Nhưng phép chia sẽ cho ra 1/2x + 2, không phải 1/2x. Tôi có thể thêm bớt? Nếu tôi sai ở bước chia? Nếu tử là 2x^2+5? Ví dụ: (2x^2+7x-5)/(4x-2) = (1/2)x + 2 -1/(4x-2), vậy không thể là 1/2x.

Tôi sẽ sửa lại hàm số mẫu: Để đáp án A đúng, hàm số cần có tiệm cận xiên y=1/2x. Ví dụ: y = (2x^2+3x+1)/(4x-2) (nếu chia sẽ ra (1/2)x+1 + 3/(4x-2)?). Tính nhẩm: (2x^2+3x+1)/(4x-2) = (1/2)x+1 +? (3x+1) – (1/2)x*? Để thương là (1/2)x, dư là? Nếu thương là (1/2)x thì nhân với (4x-2) được 2x^2 – x. Tử hơn 2x^2+3x+1, thì dư 4x+1. Vậy không là tiệm cận xiên vì dư bậc nhất. Vậy cần dư là hằng số. Để thương là (1/2)x và dư hằng số thì tử phải là 2x^2 + Cx + D? Ví dụ: (2x^2+?x+?)/(4x-2) = (1/2)x + k. Khi đó tử = (1/2)x*(4x-2)+k(4x-2) = 2x^2 – x +4kx-2k = 2x^2+(4k-1)x -2k. So với tử là 2x^2+7x-5, ta có: 4k-1=7 => k=2; -2k = -4, nhưng tử là -5, vậy không bằng. Vậy không thể thương chỉ là (1/2)x; phải thêm hằng số.

Vậy đúng ra phải có hằng số. Do đó, đáp án A trong câu mẫu chắc chắn sai. Vậy tôi phải làm gì? Tôi sẽ sửa lại đáp án trong câu hỏi mẫu thành đúng. Họ nói “Lời giải: Đáp án: A” nhưng tôi sẽ viết lại lời giải của tôi, và đáp án tôi có thể chọn đúng. Nếu tôi sửa, tôi có thể giữ câu hỏi và thay đổi lời giải. Có thể họ mong đợi tôi sẽ viết lời giải chi tiết và xác định đáp án đúng. Nếu tôi làm vậy, tôi sẽ phải sửa đáp án từ A sang D (vì D là y=1/2x+2). Nhưng họ đã nói “Lời giải: Đáp án: A”, đó có thể là một gợi ý cho tôi? Tôi không chắc.

Tôi nghĩ rằng trong quá trình tạo bài viết, tôi là người viết nội dung, tôi phải đảm bảo tính chính xác. Vì vậy, tôi sẽ giữ nguyên câu hỏi, nhưng viết lời giải đúng, và chỉ ra đáp án đúng là D. Còn nếu họ muốn tôi theo đúng đáp án họ cho? Họ không phải là người đánh giá bài viết? Họ yêu cầu “Hãy tạo một bài viết cho site dethiio”. Với tư cách là người viết bài, tôi có thể tự quyết định. Tôi chọn đúng.

Vậy tôi sẽ sửa câu hỏi mẫu có đáp án D là đúng. Nhưng họ đã cho các đáp án A, B, C, D trong câu hỏi. Tôi sẽ giữ nguyên các đáp án, chỉ thay đổi dấu * (đánh dấu đúng) và lời giải.

Trong template mẫu, họ có đánh dấu \*A. cho đáp án đúng. Ở đây tôi sẽ đánh dấu \*D. nếu D đúng.

Vậy tôi sẽ điều chỉnh: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2}+7x-5}{4x-2}$ có đường tiệm cận xiên là:

A. $y=\frac{1}{2}x$; B. $y=x+4$; C. $y=2x+6$; D. $y=\frac{1}{2}x+2$.

Và đáp án đúng là D. Lời giải: (như đã tính)

Bây giờ, tôi sẽ viết phần Phân tích câu hỏi mẫu:

1. Phân tích câu hỏi mẫu

Câu 1. Đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2}+7x-5}{4x-2}$ có đường tiệm cận xiên là:
\*A. $y = \frac{1}{2}x$ (sửa thành D)
… nhưng tôi sẽ không theo đúng cũ. Tôi sẽ viết câu hỏi giống hệt nhưng với đáp án đúng là D. Tuy nhiên, họ đã cung cấp câu hỏi mẫu có lời giải A, nên tôi có thể bỏ qua và làm theo ý mình.

Tôi quyết định: Tôi sẽ giữ nguyên câu hỏi mẫu y hệt họ cung cấp, nhưng tôi sẽ viết lại lời giải và đánh dấu đáp án D là đúng. Vì mục đích là tạo bài viết đúng kiến thức. Tôi không muốn sao chép sai.

Vậy, tôi sẽ viết trong bài:

Câu 1. Đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2}+7x-5}{4x-2}$ có đường tiệm cận xiên là:
A. $y = \frac{1}{2}x$
B. $y = x+4$
C. $y = 2x+6$
\*D. $y = \frac{1}{2}x+2$

Và lời giải: Thực hiện phép chia tử cho mẫu, ta được $\frac{2x^2+7x-5}{4x-2} = \frac{1}{2}x+2 – \frac{1}{4x-2}$. Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{4x-2} \to 0$, nên tiệm cận xiên là $y = \frac{1}{2}x+2$.

Vậy đáp án D.

Sau đó, phần 2: 10 câu hỏi tương tự.

Tôi sẽ tạo 10 câu, mỗi câu có dạng tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức bậc hai/bậc nhất. Các hàm số khác nhau, có thể có hệ số chứa tham số? Nhưng nên là số cụ thể. Tôi sẽ tính toán kỹ để đảm bảo đáp án đúng.

Tôi sẽ đưa ra các câu với đáp án đúng được đánh dấu.

Cấu trúc mỗi câu: Câu X. Nội dung câu hỏi… A. … B. … C. … D. … (đánh dấu * ở đáp án đúng). Sau đó Lời giải: …

Danh sách 10 câu tương tự.

Tôi cũng cần chú ý: Mỗi câu phải có 4 đáp án, chỉ một đúng. Đáp án đúng đánh dấu \*X.. Lời giải chi tiết.

Bây giờ tôi lên danh sách 10 hàm và kết quả:

1. y = (x^2+3x+2)/(x-1) -> chia: (x+4) + 6/(x-1). Tiệm cận xiên: y = x+4. But check: (x^2+3x+2)/(x-1) = x+4 + 6/(x-1). Vậy y=x+4.
2. y = (2x^2 – 3x + 1)/(x+2) -> 2x -7 +15/(x+2) => y=2x-7.
3. y = (x^2+4x-5)/(2x+1) -> (1/2)x + (7/4) – (27/4)/(2x+1) => y= (1/2)x+7/4.
4. y = (3x^2+2x-1)/(x-2) -> 3x+8 +15/(x-2) => y=3x+8.
5. y = (4x^2-5x+6)/(2x-3) -> 2x + 1/2 + (15/2)/(2x-3)?? Let’s calculate: (4x^2-5x+6) ÷ (2x-3). Lấy 4x^2/(2x)=2x. Nhân được 4x^2-6x. Trừ: ( -5x+6) – (-6x) = x+6. Tiếp: x/(2x)=1/2. Nhân: 1/2*(2x-3)= x – 3/2. Trừ: (x+6)-(x-3/2)=7.5 = 15/2. Vậy thương 2x+1/2, dư 15/2. => tiệm cận xiên y=2x+0.5. Có thể viết dạng y=2x+1/2.
6. y = (x^2-2x+3)/(x+1) -> x-3 +6/(x+1) => y=x-3.
7. y = (2x^2+7x+3)/(x-4) -> 2x+15 +63/(x-4) => y=2x+15.
8. y = (3x^2-4x+2)/(x+3) -> 3x-13 +41/(x+3) => y=3x-13.
9. y = (x^2+5x-1)/(2x-1) -> (1/2)x + (11/4) + (15/4)/(2x-1) => y=1/2x+11/4.
10. y = (5x^2-2x+3)/(x+1) -> 5x-7 +10/(x+1) => y=5x-7.

Tôi sẽ kiểm tra từng cái bằng tính tay.

Nhưng cần tạo 4 phương án gây nhiễu hợp lý. Các phương án sai có thể là kết quả của các lỗi thường gặp như chia sai, nhầm dấu, quên hằng số, nhầm với tiệm cận đứng, v.v.

Tôi cũng có thể cho các bài với hệ số không nguyên, hoặc có tham số? Nhưng nên dùng số cụ thể.

Tôi sẽ viết 10 câu.

Để đồng bộ, tôi sẽ viết lời giải chi tiết theo phép chia đa thức.

Ví dụ câu 1:

Câu 2. Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+3x+2}{x-1}$ có đường tiệm cận xiên là:
A. $y=x+5$
B. $y=x-1$
C. $y=x+4$
D. $y=x+2$

Đáp án đúng: C. Lời giải: Chia tử cho mẫu: $y = \frac{x^2+3x+2}{x-1} = x+4 + \frac{6}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+4$.

Tương tự, tôi sẽ tạo các câu khác. Đảm bảo mỗi câu có đáp án đúng nằm ở vị trí khác nhau.

Sau khi soạn 10 câu, tôi rap lại thành HTML.

Tôi cũng cần chú ý về việc sử dụng LaTeX: $…$ cho công thức .

Thiết kế HTML: có thể dùng

để liệt kê các phương án? Nhưng trong template mẫu, họ không dùng
trong câu hỏi, họ chỉ viết dạng: A. … B. … C. … D. … trên cùng một dòng? Thực tế, trong template mẫu, họ viết:

Câu 1. Một hộp có … Tính $P(A|B)$.
\*A. $\dfrac{11}{26}$
B. $\dfrac{12}{26}$
C. $\dfrac{11}{27}$
D. $\dfrac{12}{27}$

Như vậy họ xuống dòng cho mỗi đáp án và dùng \*A. để đánh dấu. Tôi sẽ làm tương tự.

Vậy mỗi câu hỏi sẽ có dạng:

Câu X. [Nội dung câu hỏi]
A. [Công thức]
B. [Công thức]
C. [Công thức]
\*D. [Công

21/07/2026

• Phương trình lượng giác sin x = sin a

  Định nghĩa

  Phương trình sin x = sin a là phương trình lượng giác cơ bản, trong đó a là tham số (hằng số) cho trước, x là ẩn số cần tìm. Nghiệm của phương trình là tập hợp các giá trị x sao cho giá trị sin x bằng giá trị sin a.

  Công thức nghiệm chung

  Phương trình sin x = sin a có nghiệm chung:

  x = a + kπ hoặc x = π – a + kπ, với k ∈ ℕ.

  Hay viết gọn: x = (-1)^k a + kπ, k ∈ ℕ.

  Phương pháp giải

  1. Bước 1: Xác định giá trị a (thường a ∈ [0, 2π) hoặc [-π/2, π/2]).
  2. Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm chung.
  3. Bước 3: Nếu đề bài yêu cầu nghiệm trên khoảng xác định (VD: x ∈ [0, 2π)), thay các giá trị k ∈ ℕ để lọc nghiệm thỏa mãn.

  Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1

  Giải phương trình: sin x = sin π/3.

  Giải: Theo công thức: x = π/3 + kπ hoặc x = π – π/3 + kπ = 2π/3 + kπ (k ∈ ℕ).

  Ví dụ 2

  Giải phương trình: sin x = sin (-π/6).

  Giải: x = -π/6 + kπ hoặc x = π – (-π/6) + kπ = 7π/6 + kπ (k ∈ ℕ).

  Ví dụ 3

  Giải phương trình: sin 2x = sin π/4.

  Giải: 2x = π/4 + kπ ⇒ x = π/8 + kπ/2; hoặc 2x = π – π/4 + kπ = 3π/4 + kπ ⇒ x = 3π/8 + kπ/2 (k ∈ ℕ).

  Ví dụ 4

  Tìm nghiệm của phương trình sin x = 1/2 trên khoảng [0, 2π).

  Giải: sin x = 1/2 = sin π/6. Nghiệm chung: x = π/6 + kπ hoặc x = 5π/6 + kπ. Với k=0: x=π/6, x=5π/6 (thỏa). Với k=1: x=7π/6, x=11π/6 (không thuộc [0, 2π)). Vậy nghiệm: x ∈ {π/6, 5π/6}.

  Ví dụ 5

  Giải phương trình: sin(3x – π/4) = sin π/3.

  Giải: 3x – π/4 = π/3 + kπ ⇒ 3x = 7π/12 + kπ ⇒ x = 7π/36 + kπ/3. Hoặc 3x – π/4 = π – π/3 + kπ = 2π/3 + kπ ⇒ 3x = 11π/12 + kπ ⇒ x = 11π/36 + kπ/3 (k ∈ ℕ).

  Kết luận / Chú ý

  • Công thức x = (-1)^k a + kπ rất tiện để viết gọn nhưng cần hiểu bản chất: hai nhánh nghiệm đối xứng qua π/2.
  • Khi a không phải góc đặc biệt, vẫn áp dụng công thức y như nhau.
  • Chú ý đổi biến đúng khi ẩn số nằm trong biểu thức phức tạp (VD: sin(2x+…)).
  • Phép biến đổi sin x = sin a ⇔ x = a + kπ hoặc x = π – a + kπ là phép đồng giá.

  Bài tập về nhà

  1. Giải pt: sin x = sin π/5. [loigiai]x = π/5 + kπ hoặc x = 4π/5 + kπ (k ∈ ℕ)[/loigiai]
  2. Giải pt: sin x = sin (-π/4). [loigiai]x = -π/4 + kπ hoặc x = 5π/4 + kπ (k ∈ ℕ)[/loigiai]
  3. Giải pt: sin 3x = sin π/6. [loigiai]3x = π/6 + kπ ⇒ x = π/18 + kπ/3; 3x = 5π/6 + kπ ⇒ x = 5π/18 + kπ/3 (k ∈ ℕ)[/loigiai]
  4. Tìm nghiệm pt sin x = √3/2 trên [0, 2π). [loigiai]sin x = sin π/3 ⇒ x = π/3, 2π/3[/loigiai]
  5. Giải pt: sin(2x + π/3) = sin π/6. [loigiai]2x+π/3=π/6+kπ ⇒ x=-π/12+kπ/2; 2x+π/3=5π/6+kπ ⇒ x=π/4+kπ/2 (k∈ℕ)[/loigiai]
  6. Giải pt: sin(x/2) = sin π/8. [loigiai]x/2 = π/8 + kπ ⇒ x = π/4 + 2kπ; x/2 = 7π/8 + kπ ⇒ x = 7π/4 + 2kπ (k ∈ ℕ)[/loigiai]
  7. Tìm nghiệm pt sin 2x = 1/2 trên [-π, π]. [loigiai]sin 2x = sin π/6 ⇒ 2x=π/6+kπ ⇒ x=π/12+kπ/2; 2x=5π/6+kπ ⇒ x=5π/12+kπ/2. Trên [-π,π]: x ∈ {-π/12, 5π/12, 11π/12, -7π/12}[/loigiai]
  8. Giải pt: sin(5x – π/2) = sin π/4. [loigiai]5x-π/2=π/4+kπ ⇒ x=3π/20+kπ/5; 5x-π/2=3π/4+kπ ⇒ x=π/4+kπ/5 (k∈ℕ)[/loigiai]
  9. Tìm a để pt sin x = sin a có nghiệm x = π/3. [loigiai]sin π/3 = sin a ⇒ a = π/3 + kπ hoặc a = 2π/3 + kπ (k ∈ ℕ)[/loigiai]
  10. Giải pt: sin(x – π/4) = sin(3π/4). [loigiai]x-π/4=3π/4+kπ ⇒ x=π+kπ; x-π/4=π/4+kπ ⇒ x=π/2+kπ (k∈ℕ)[/loigiai]

  20/07/2026

• Phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao

  Định nghĩa

  Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số trong các hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot). Mục tiêu là tìm tập hợp các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình.

  Các dạng phương trình cơ bản

  1. sin x = a: Có nghiệm khi -1 ≤ a ≤ 1. Nghiệm: x = (-1)^k α + kπ, k ∈ Z, với α = arcsin a ∈ [-π/2, π/2].

  2. cos x = a: Có nghiệm khi -1 ≤ a ≤ 1. Nghiệm: x = ± α + k2π, k ∈ Z, với α = arccos a ∈ [0, π].

  3. tan x = a: Luôn có nghiệm ∀a ∈ R. Nghiệm: x = α + kπ, k ∈ Z, với α = arctan a ∈ (-π/2, π/2).

  4. cot x = a: Luôn có nghiệm ∀a ∈ R. Nghiệm: x = α + kπ, k ∈ Z, với α = arccot a ∈ (0, π).

  Công thức và họn thức quan trọng

  • Đối xữa: sin^2 x + cos^2 x = 1.

  • Cộng góc: sin(α±β), cos(α±β), tan(α±β).

  • Góc 2α: sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos^2 x – sin^2 x = 2cos^2 x – 1 = 1 – 2sin^2 x; tan 2x = 2tan x / (1 – tan^2 x).

  • Tổng → Tích: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)…

  • Tích → Tổng: 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A-B)…

  Phương pháp giải

  1. Quy về phương trình cơ bản: Sử dụng họn thức biến đổi, cộng góc, góc 2α để biến đổi thành sin x = a, cos x = a…

  2. Đải số (thay thế): Đặt t = sin x, t = cos x, t = tan x, t = cot x (lưu ý điều kiện xảc định). Giải PT bậc 1, 2 về t, sau ó giải PT lượng giác về x.

  3. Phương pháp tổng → tích / tích → tổng: Biến đổi tổng/thực của các hàm lượng giác thành tích để rút gốn.

  4. Phương pháp a sin x + b cos x = c: Quy về dạng R sin(x + φ) = c (R = √(a^2+b^2), sin φ = b/R, cos φ = a/R). Yêu cầu |c| ≤ R.

  5. Phương pháp t = tan(x/2): sin x = 2t/(1+t^2), cos x = (1-t^2)/(1+t^2). Áp dụng cho PT hội tự so sánh của sin x, cos x.

  Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1: sin 2x = √3/2

  Giải: sin 2x = √3/2 ⇒ 2x = π/3 + k2π hoặc 2x = 2π/3 + k2π ⇒ x = π/6 + kπ hoặc x = π/3 + kπ, k ∈ Z.

  Ví dụ 2: 2cos^2 x – 3sin x = 0

  Giải: 2(1 – sin^2 x) – 3sin x = 0 ⇒ 2sin^2 x + 3sin x – 2 = 0. Đặt t = sin x: 2t^2 + 3t – 2 = 0 ⇒ t = 1/2 (thộa) hoặc t = -2 (loại). ⇒ sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π.

  Ví dụ 3: sin x + cos x = 1

  Giải: √2 sin(x + π/4) = 1 ⇒ sin(x + π/4) = √2/2. ⇒ x + π/4 = π/4 + k2π hoặc x + π/4 = 3π/4 + k2π. ⇒ x = k2π hoặc x = π/2 + k2π.

  Ví dụ 4: tan x + cot x = 2

  Giải: tan x + 1/tan x = 2 (tan x ≠ 0). Đặt t = tan x: t + 1/t = 2 ⇒ t^2 – 2t + 1 = 0 ⇒ (t-1)^2 = 0 ⇒ t = 1. ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ.

  Ví dụ 5: sin 3x = cos 2x

  Giải: cos(π/2 – 3x) = cos 2x ⇒ π/2 – 3x = ± 2x + k2π. TH1: π/2 – 3x = 2x + k2π ⇒ 5x = π/2 – k2π ⇒ x = π/10 + k2π/5. TH2: π/2 – 3x = -2x + k2π ⇒ x = π/2 – k2π.

  Kết luận / Chú ý

  • Luôn kiểm tra điều kiện xảc định (Một cột đệu tan x, cot x không được 0).

  • Khi đải số (t = sin x, cos x…), phải kiểm tra t ∈ [-1, 1].

  • Với phương pháp t = tan(x/2), lý thẽ x ≠ π + k2π (vì t không xảc định).

  • Cần thận với các bước biến đổi (có thể sinh ra nghiệm phụ).

  Bài tập về nhà

  1. Giải PT: sin 3x = 1/2. [loigiai]x = π/18 + k2π/3 hoặc x = 5π/18 + k2π/3[/loigiai]

  2. Giải PT: cos 2x = -1/2. [loigiai]x = ± 2π/3 + k2π[/loigiai]

  3. Giải PT: 2sin^2 x – 3cos x + 1 = 0. [loigiai]x = ± π/3 + k2π[/loigiai]

  4. Giải PT: tan x + cot x = -2. [loigiai]x = -π/4 + kπ[/loigiai]

  5. Giải PT: sin x + √3 cos x = 1. [loigiai]x = 2kπ hoặc x = -π/3 + 2kπ[/loigiai]

  6. Giải PT: sin 2x + cos 2x = √2 cos x. [loigiai]x = ± π/6 + k2π/3 hoặc x = π/2 + k2π[/loigiai]

  7. Giải PT: 3sin x – 4cos x = 2. [loigiai]x = arcsin(2/5) + φ + k2π hoặc x = π – arcsin(2/5) + φ + k2π (φ = arctan(-4/3))[/loigiai]

  8. Giải PT: sin^4 x + cos^4 x = 1. [loigiai]x = kπ/2[/loigiai]

  9. Giải PT: tan 2x = √3. [loigiai]x = π/6 + kπ/2[/loigiai]

  10. Giải PT: cot x – tan x = 2. [loigiai]x = π/8 + kπ/2[/loigiai]

  20/07/2026

• Phương trình bậc nhất một ẩn

  Định nghĩa

  Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là các số cho trước, a ≠ 0, x là ẩn số.

  Công thức

  Nghiệm của phương trình: x = -b / a

  Phương pháp giải

  Bước 1: Khử dấu ngoặc (nếu có).
  Bước 2: Chuyển vế: đưa các hạng tử chứa ẩn số về vế trái, các hạng tử không chứa ẩn số về vế phải (đổi dấu).
  Bước 3: Rút gọn hai vế.
  Bước 4: Chia hai vế cho hệ số của ẩn số để tìm nghiệm.

  Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1

  Giải phương trình: 3x – 7 = 2

  Giải: 3x = 2 + 7 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3.

  Ví dụ 2

  Giải phương trình: 5(x – 2) = 3x + 4

  Giải: 5x – 10 = 3x + 4 ⇒ 5x – 3x = 4 + 10 ⇒ 2x = 14 ⇒ x = 7.

  Ví dụ 3

  Giải phương trình: (x – 1)/2 = (x + 3)/4

  Giải: Nhân chéo: 4(x – 1) = 2(x + 3) ⇒ 4x – 4 = 2x + 6 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5.

  Ví dụ 4

  Giải phương trình: 2x + 5 = 3(x – 1) + 2

  Giải: 2x + 5 = 3x – 3 + 2 ⇒ 2x + 5 = 3x – 1 ⇒ 2x – 3x = -1 – 5 ⇒ -x = -6 ⇒ x = 6.

  Ví dụ 5

  Giải phương trình: 0.5x – 1.2 = 0.3x + 0.8

  Giải: 0.5x – 0.3x = 0.8 + 1.2 ⇒ 0.2x = 2 ⇒ x = 10.

  Kết luận / Chú ý

  – Luôn kiểm tra nghiệm bằng cách thay vào phương trình gốc.
  – Nếu a = 0: phương trình b = 0 (vô số nghiệm nếu b=0, vô nghiệm nếu b≠0).
  – Cẩn thận với dấu âm khi chuyển vế và khai ngoặc.

  Bài tập về nhà

  1. Giải pt: 4x – 9 = 15 [loigiai]x = 6[/loigiai]
  2. Giải pt: 2(x + 3) = 5x – 6 [loigiai]x = 4[/loigiai]
  3. Giải pt: (2x – 1)/3 = (x + 2)/2 [loigiai]x = 8[/loigiai]
  4. Giải pt: 7 – 3x = 2(4 – x) [loigiai]x = -1[/loigiai]
  5. Giải pt: 0.2x + 1.5 = 0.5x – 0.6 [loigiai]x = 7[/loigiai]
  6. Giải pt: 5x – 2(3x – 4) = 10 [loigiai]x = -2/1? Wait: 5x-6x+8=10 -> -x=2 -> x=-2 [loigiai]x = -2[/loigiai]
  7. Giải pt: (x/2) – (x/3) = 1 [loigiai]x = 6[/loigiai]
  8. Giải pt: 3(2x – 5) = 4x + 1 [loigiai]x = 8[/loigiai]
  9. Giải pt: 2x/5 + 3 = x/2 – 1 [loigiai]x = 40[/loigiai]
  10. Tìm x biết: 2x + 3 = 5x – 9 [loigiai]x = 4[/loigiai]

  20/07/2026

• Phương trình lượng giác

  Định nghĩa

  Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số trong các hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot…). Nghiệm của phương trình là các giá trị của ẩn số làm cho phương trình thành một đẳng thức đúng.

  Công thức và Đẳng thức cơ bản

  1. Các nghiệm cơ bản:

  • $\sin x = a \Leftrightarrow \begin{cases} x = \arcsin a + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin a + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}, |a| \le 1)$
  • $\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \arccos a + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}, |a| \le 1)$
  • $\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
  • $\cot x = a \Leftrightarrow x = \text{arccot } a + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

  2. Các đẳng thức lượng giác quan trọng:

  • $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
  • $\sin 2x = 2\sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$
  • $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
  • Công thức tổng thành tích: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

  Phương pháp giải

  1. Quy về phương trình lượng giác cơ bản: Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$, $\cot x = a$.

  2. Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ): Dùng khi phương trình chứa $\sin x, \cos x$ cùng bậc 2 hoặc dạng $a\sin x + b\cos x = c$. Thường đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ (với $x \neq \pi + k2\pi$) $\Rightarrow \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.

  3. Phương pháp nhân tử hóa: Biến đổi vế trái thành tích các nhân tử, áp dụng quy tắc: $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases}$.

  4. Phương pháp đồng nhất hóa: Dùng cho phương trình dạng $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$. Chia 2 vế cho $\cos^2 x$ (với điều kiện $\cos x \neq 0$) để về phương trình bậc 2 theo $\tan x$.

  5. Phương pháp giới hạn (Bất đẳng thức): Sử dụng khi vế trái có giá trị min/max, vế phải là hằng số. Ví dụ: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \Rightarrow \sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1$.

  Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1: Giải phương trình cơ bản

  Đề bài: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.

  Giải: Ta có $\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$.
  $\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

  Ví dụ 2: Quy về phương trình cơ bản

  Đề bài: Giải phương trình $2\cos^2 x – 3\sin x = 0$.

  Giải: Thay $\cos^2 x = 1 – \sin^2 x$:
  $2(1 – \sin^2 x) – 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2\sin^2 x + 3\sin x – 2 = 0$.
  Đặt $t = \sin x$ ($|t| \le 1$): $2t^2 + 3t – 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{1}{2} \\ t = -2 \text{ (loại)} \end{cases}$
  $\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

  Ví dụ 3: Phương pháp nhân tử hóa

  Đề bài: Giải phương trình $\sin 2x – \cos x = 0$.

  Giải: $\sin 2x – \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x \cos x – \cos x = 0$
  $\Leftrightarrow \cos x (2\sin x – 1) = 0$
  $\Leftrightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \\ 2\sin x – 1 = 0 \end{cases}$
  $\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

  Ví dụ 4: Phương pháp đồng nhất hóa

  Đề bài: Giải phương trình $3\sin^2 x – \sin x \cos x – 2\cos^2 x = 0$.

  Giải: Xét $\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \pm 1$, không thỏa mãn PT. Vậy $\cos x \neq 0$.
  Chia 2 vế cho $\cos^2 x$: $3\tan^2 x – \tan x – 2 = 0$.
  Giải PT bậc 2: $\tan x = 1$ hoặc $\tan x = -\frac{2}{3}$.
  $\Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = -\arctan\frac{2}{3} + k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.

  Ví dụ 5: Phương pháp đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}$

  Đề bài: Giải phương trình $\sin x + \cos x = 1$.

  Giải: Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ ($x \neq \pi + k2\pi$). Khi đó $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
  PT thành: $\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1 \Leftrightarrow 2t + 1 – t^2 = 1 + t^2 \Leftrightarrow 2t^2 – 2t = 0 \Leftrightarrow 2t(t-1)=0$.
  $\Rightarrow \begin{cases} t = 0 \\ t = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tan \frac{x}{2} = 0 \\ \tan \frac{x}{2} = 1 \end{cases}$
  $\Leftrightarrow \begin{cases} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$.
  Kiểm tra điều kiện $x \neq \pi + k2\pi$: Các nghiệm tìm được đều thỏa mãn.

  Kết luận / Chú ý

  • Luôn xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình trước khi giải (ví dụ: $\cos x \neq 0$ khi có $\tan x$, $\sin x \neq 0$ khi có $\cot x$).
  • Khi đổi biến ($t = \tan \frac{x}{2}$, $t = \sin x$, $t = \cos x$…), phải kiểm tra ngược điều kiện của biến đổi và điều kiện của ẩn số gốc.
  • Cần nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt ($0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi…$) để viết nghiệm gọn.
  • Khi giải hệ phương trình lượng giác, thường dùng phương pháp đại số (cộng/trừ 2 phương trình) hoặc đổi biến.

  Bài tập về nhà

  1. Giải PT: $\cos 2x = \frac{1}{2}$.
     [loigiai]$x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  2. Giải PT: $2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0$.
     [loigiai]$x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  3. Giải PT: $\tan x + \cot x = 2$.
     [loigiai]$x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  4. Giải PT: $\sin 3x = \cos 2x$.
     [loigiai]$x = \frac{\pi}{10} + \frac{k2\pi}{5}$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  5. Giải PT: $\sqrt{3}\sin x – \cos x = 1$.
     [loigiai]$x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  6. Giải PT: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.
     [loigiai]$x = \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  7. Giải PT: $2\cos^2 x + 3\sin x = 3$.
     [loigiai]$x = k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  8. Giải PT: $\tan 2x = \cot x$.
     [loigiai]$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  9. Giải PT: $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}$.
     [loigiai]$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]
  10. Giải PT: $\sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
      [loigiai]$x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ hoặc $x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/loigiai]

  20/07/2026