![[Toán 12] Câu 2 (Trắc nghiệm): Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Đơn điệu hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất (Lời giải chi tiết)](https://dethi.io.vn/wp-content/uploads/2026/08/featured-1787824150727.jpeg)
📌 Đề bài (Câu 2 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0: $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.
Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Bước 2: Tính đạo hàm $y’$
Áp dụng công thức tính đạo hàm nhanh cho hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$:
$$y’ = \frac{2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$$
Bước 3: Xét dấu của $y’$ và kết luận tính đơn điệu
Ta nhận thấy $y’ = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$.
Do đó, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Lưu ý quan trọng về cách biểu diễn: Tuyệt đối không kết luận hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ hoặc trên hợp của hai khoảng $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ vì định nghĩa tính đơn điệu chỉ xét trên từng khoảng/đoạn/nửa khoảng rời nhau.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Dạng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $(ad – bc \neq 0, c \neq 0)$.
- Đạo hàm nhanh: $y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$.
- Tính đơn điệu:
- Nếu $ad – bc > 0 \Rightarrow y’ > 0, \forall x \neq -\frac{d}{c}$: Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định $\left(-\infty; -\frac{d}{c}\right)$ và $\left(-\frac{d}{c}; +\infty\right)$.
- Nếu $ad – bc < 0 \Rightarrow y' < 0, \forall x \neq -\frac{d}{c}$: Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định $\left(-\infty; -\frac{d}{c}\right)$ và $\left(-\frac{d}{c}; +\infty\right)$.
- Kí hiệu cần tránh: Không dùng các kí hiệu $\cup$, $\setminus$, dấu phẩy nối hai tập hợp khi viết kết luận về khoảng đơn điệu.
✍️ Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập: Cho hàm số $y = \frac{x – 3}{2 – x}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.
D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Xem đáp án & lời giải bài tự luyện
Viết lại hàm số: $y = \frac{x – 3}{-x + 2}$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{1 \cdot 2 – (-3)(-1)}{(-x + 2)^2} = \frac{2 – 3}{(2 – x)^2} = \frac{-1}{(2 – x)^2} < 0, \forall x \neq 2$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
👉 Đáp án đúng: A