[Toán 12] Câu 1 (Nhận biết): Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba – Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; +\infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(-\infty; 2)$

D. $(0; +\infty)$

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Xác định tập xác định

Hàm số đã cho là hàm đa thức, có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm

Ta có: $y’ = (x^3 – 3x^2 + 2)’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.

Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right.$.

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm $y’$

Hệ số của $x^2$ trong $y’$ là $a = 3 > 0$. Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai (trong trái – ngoài cùng):

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

Do đó, phương án đúng là $(2; +\infty)$.

👉 Chọn đáp án: A

Định lý: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x) < 0, \forall x \in K$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $K$.
Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai $g(x) = ax^2 + bx + c$ có 2 nghiệm $x_1 < x_2$:
- Trong khoảng $(x_1; x_2)$: $g(x)$ trái dấu với hệ số $a$.
- Ngoài khoảng $(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$: $g(x)$ cùng dấu với hệ số $a$.

Bài tập: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 9x – 1$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-1; 3)$

B. $(3; +\infty)$

C. $(-\infty; 3)$

D. $(-1; +\infty)$

👉 Xem đáp án bài tập tương tự

Lời giải tóm tắt:

Ta có: $y’ = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x + 1)(x – 3)$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.

Hệ số $a = -3 < 0$, do đó $y' < 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$ và $y' > 0$ khi $x \in (-1; 3)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.

Đáp án đúng: B