Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong bằng tích phân

Lý thuyết về tính diện tích hình phẳng bằng tích phân

Khi cần tính diện tích phẳng giới hạn bởi các đường cong, chúng ta có thể sử dụng tích phân xác định. Nguyên tắc cơ bản là:

Với hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ và không đổi dấu trên đoạn này, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính bằng công thức:

$$S = \left|\int_a^b f(x) \, dx\right|$$

Để tính diện tích phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = f(x)$ và $y = g(x)$ ($f(x) \geq g(x)$) và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, ta sử dụng công thức:

$$S = \int_a^b [f(x) – g(x)] \, dx$$

Bài toán

Đề bài:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^2$, $y = 2x$ và trục $Ox$.

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị các đường cong để xác định miền giới hạn.
Tìm các điểm giao của các đường cong.
Xác định các hàm trên và hàm dưới trên từng khoảng.
Áp dụng công thức tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vẽ đồ thị

Đường parabol $y = x^2$ đi qua gốc tọa độ, có đỉnh tại $(0, 0)$ và mở lên trên.
Đường thẳng $y = 2x$ đi qua gốc tọa độ, có hệ số góc bằng 2.
Trục $Ox$ là đường $y = 0$.

Bước 2: Tìm các điểm giao

Giao điểm của $y = x^2$ và $y = 2x$:

$$x^2 = 2x \Rightarrow x^2 – 2x = 0 \Rightarrow x(x – 2) = 0$$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

Tương ứng với các điểm $(0, 0)$ và $(2, 4)$.

Giao điểm của $y = x^2$ và $y = 0$ (trục $Ox$):

$$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Tương ứng với điểm $(0, 0)$.

Giao điểm của $y = 2x$ và $y = 0$ (trục $Ox$):

$$2x = 0 \Rightarrow x = 0$$

Tương ứng với điểm $(0, 0)$.

Bước 3: Xác định miền giới hạn

Trên đoạn $[0, 2]$, đường $y = 2x$ nằm trên đường $y = x^2$. Do đó, miền giới hạn bởi các đường $y = x^2$, $y = 2x$ và trục $Ox$ bao gồm:

Miền giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$ và đường $x = 0$: nhưng đây chỉ là một điểm.
Miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 2x$ và đường $x = 2$: đây chính là miền chúng ta cần tính.

Như vậy, với đề bài này, miền giới hạn là vùng nằm giữa $y = x^2$ và $y = 2x$ từ $x = 0$ đến $x = 2$, và nằm trên trục $Ox$ (vì $y = 2x$ và $y = x^2$ đều không âm trên đoạn này).

Bước 4: Áp dụng công thức

Diện tích cần tính là:

$$S = \int_0^2 (2x – x^2) \, dx$$

Tích phân:

$$\int (2x – x^2) \, dx = x^2 – \frac{x^3}{3} + C$$

Áp dụng công thức Newton-Leibniz:

$$S = \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 – \frac{8}{3}\right) – (0 – 0) = \frac{12}{3} – \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $\frac{4}{3}$ (đơn vị diện tích).

Bài tập tương tự

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^2 + 1$, $y = 2x + 1$ và trục $Ox$.

Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt{x}$, $y = x^2$ và trục $Ox$.

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^3$, $y = x$ và các đường $x = -1$, $x = 1$.

Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = e^x$, $y = e^{-x}$ và đường $x = 1$.

Bài tập 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sin x$, $y = \cos x$ trên đoạn $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Xem đáp án và lời giải

Bài tập 1:

Tìm giao điểm: $x^2 + 1 = 2x + 1 \Rightarrow x^2 – 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Trên đoạn $[0, 2]$, đường $y = 2x + 1$ nằm trên đường $y = x^2 + 1$.
Diện tích: $S = \int_0^2 [(2x + 1) – (x^2 + 1)] \, dx = \int_0^2 (2x – x^2) \, dx = \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{4}{3}$.

Bài tập 2:

Tìm giao điểm: $\sqrt{x} = x^2 \Rightarrow x = x^4 \Rightarrow x(x^3 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$.
Trên đoạn $[0, 1]$, đường $y = \sqrt{x}$ nằm trên đường $y = x^2$.
Diện tích: $S = \int_0^1 (\sqrt{x} – x^2) \, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} – \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} – \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

Bài tập 3:

Tìm giao điểm: $x^3 = x \Rightarrow x^3 – x = 0 \Rightarrow x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = -1, 0, 1$.
Trên đoạn $[-1, 0]$, đường $y = x$ nằm trên đường $y = x^3$.
Trên đoạn $[0, 1]$, đường $y = x^3$ nằm dưới đường $y = x$.
Diện tích: $S = \int_{-1}^0 (x – x^3) \, dx + \int_0^1 (x – x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Bài tập 4:

Tìm giao điểm: $e^x = e^{-x} \Rightarrow e^{2x} = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Trên đoạn $[0, 1]$, đường $y = e^x$ nằm trên đường $y = e^{-x}$.
Diện tích: $S = \int_0^1 (e^x – e^{-x}) \, dx = [e^x + e^{-x}]_0^1 = (e + e^{-1}) – (1 + 1) = e + \frac{1}{e} – 2$.

Bài tập 5:

Tìm giao điểm: $\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ trên đoạn $[0, \frac{\pi}{2}]$.
Trên đoạn $[0, \frac{\pi}{4}]$, đường $y = \cos x$ nằm trên đường $y = \sin x$.
Trên đoạn $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, đường $y = \sin x$ nằm trên đường $y = \cos x$.
Diện tích: $S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x – \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – \cos x) \, dx = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x – \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (\sqrt{2} – 1) + (\sqrt{2} – 1) = 2\sqrt{2} – 2$.