Cho hàm số f(x) = (x² − 1)eˣ, với x ∈ ℝ. Gọi (C) là đồ thị hàm số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có đúng một nghiệm dương. c) Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx. d) Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành trên đoạn [0; 2]. e) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay H quanh trục Ox.

Phân tích Đề bài

Dữ kiện cho trước và điều kiện

Cho hàm số f(x) = (x² − 1)eˣ xác định trên tập số thực ℝ. Đồ thị hàm số được kí hiệu là (C). Chúng ta cần thực hiện các yêu cầu từ câu a đến câu e, bao gồm khảo sát hàm số, chứng minh nghiệm phương trình, tính tích phân, diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.

Yêu cầu của bài toán

• Câu a: Khảo sát sự biến thiên (tìm tập xác định, giới hạn, đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên) và vẽ đồ thị (C).
• Câu b: Chứng minh f(x) = 0 có đúng một nghiệm dương.
• Câu c: Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần.
• Câu d: Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi (C) và trục Ox trên [0; 2].
• Câu e: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Ox.

Các khái niệm liên quan

• Nguyên hàm của P(x)·eˣ: Công thức ∫P(x)eˣdx = [P(x) − P'(x) + P”(x) − …]eˣ + C, trong đó P(x) là đa thức.
• Diện tích hình phẳng: Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a; b], ta phải chia thành các đoạn con để lấy giá trị tuyệt đối.
• Thể tích khối tròn xoay quanh Ox: Công thức V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
• Đạo hàm tích: f'(x) = u’v + uv’ dùng để khảo sát sự biến thiên.

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận và chiến lược

Đây là dạng bài tập tổng hợp về tích phân kết hợp với khảo sát hàm số. Chiến lược chính như sau:

• Với câu a: Tính đạo hàm f'(x) = (x² + 2x − 1)eˣ. Vì eˣ > 0 với mọi x, dấu của f'(x) phụ thuộc vào tam thức x² + 2x − 1. Giải phương trình x² + 2x − 1 = 0 ta được x = −1 ± √2. Trên miền khảo sát, nghiệm quan trọng là x₀ = √2 − 1 ≈ 0,414.
• Với câu b: f(x) = 0 ⇔ (x² − 1)eˣ = 0 ⇔ x² − 1 = 0 (vì eˣ > 0) ⇔ x = ±1. Vậy nghiệm dương duy nhất là x = 1.
• Với câu c: Áp dụng công thức nguyên hàm dạng ∫P(x)eˣdx.
• Với câu d và e: Phân tích dấu f(x) trên [0; 2] rồi tính diện tích (lấy giá trị tuyệt đối) và thể tích quay.

Tại sao dùng phương pháp này? Hàm số có dạng tích giữa đa thức và hàm mũ eˣ là dạng kinh điển để áp dụng tích phân từng phần hoặc công thức khép. Việc sử dụng công thức ∫P(x)eˣdx = [P(x) − P'(x) + P”(x) − …]eˣ giúp tiết kiệm thời gian đáng kể so với thực hiện tích phân từng phần liên tiếp.

Lời giải chi tiết từng bước

Câu a: Khảo sát và vẽ đồ thị

Tập xác định: D = ℝ.

Giới hạn: lim_x→−∞ f(x) = 0 (do eˣ → 0 nhanh hơn mọi đa thức); lim_x→+∞ f(x) = +∞.

Đạo hàm:

f'(x) = 2x·eˣ + (x² − 1)eˣ = (x² + 2x − 1)eˣ

f'(x) = 0 ⇔ x² + 2x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ± √2

Nghiệm x₁ = −1 − √2 ≈ −2,414 và x₂ = √2 − 1 ≈ 0,414.

Bảng biến thiên trên đoạn [0; 2]:

• Tại x = 0: f(0) = −1
• Tại x = √2 − 1: f(√2 − 1) = ((√2−1)² − 1)e^(√2−1) = (2 − 2√2)e^(√2−1) ≈ −0,926. Đây là cực tiểu.
• Tại x = 2: f(2) = 3e² ≈ 22,17

Hàm số nghịch biến trên (0; √2−1) và đồng biến trên (√2−1; +∞).

Câu b: Chứng minh f(x) = 0 có đúng một nghiệm dương

f(x) = (x² − 1)eˣ = 0 ⇔ x² − 1 = 0 (vì eˣ > 0 ∀x ∈ ℝ) ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

Trong hai nghiệm, chỉ có x = 1 là nghiệm dương duy nhất. Điều phải chứng minh.

Nhận xét quan trọng: Tại x = 1, đồ thị (C) cắt trục hoành và đổi dấu từ âm sang dương. Do f'(1) = 2e > 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ theo hướng đi lên.

Câu c: Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx

Ta cần tìm nguyên hàm của f(x) = (x² − 1)eˣ.

Áp dụng công thức: Nếu F(x) = [P(x) − P'(x) + P”(x) − …]eˣ thì F'(x) = P(x)eˣ.

Ở đây P(x) = x² − 1, P'(x) = 2x, P”(x) = 2, P”'(x) = 0.

Vậy nguyên hàm là:

F(x) = [(x² − 1) − 2x + 2]eˣ = (x² − 2x + 1)eˣ = (x − 1)²eˣ

Kiểm tra: F'(x) = 2(x−1)eˣ + (x−1)²eˣ = (x−1)(x+1)eˣ = (x²−1)eˣ = f(x). ✓

Tính tích phân:

I = F(2) − F(0) = (2−1)²e² − (0−1)²·e⁰ = e² − 1

Vậy I = e² − 1.

Câu d: Tính diện tích S

Trên đoạn [0; 2], hàm f(x) = (x² − 1)eˣ = (x−1)(x+1)eˣ.

Do eˣ > 0 và (x+1) > 0 trên [0; 2], nên dấu f(x) phụ thuộc vào (x − 1):

• Trên [0; 1): (x − 1) < 0 ⇒ f(x) < 0
• Tại x = 1: f(1) = 0
• Trên (1; 2]: (x − 1) > 0 ⇒ f(x) > 0

Diện tích hình phẳng H:

S = |∫₀¹ f(x) dx| + ∫₁² f(x) dx

Tính từng phần:

∫₀¹ f(x) dx = F(1) − F(0) = (1−1)²e¹ − (0−1)²·1 = 0 − 1 = −1

∫₁² f(x) dx = F(2) − F(1) = e² − 0 = e²

Vậy:

S = |−1| + e² = 1 + e²

Câu e: Tính thể tích V

Thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Ox được tính theo công thức:

V = π∫₀² [f(x)]² dx = π∫₀² (x² − 1)²e^(2x) dx

Mở rộng biểu thức dưới dấu tích phân:

(x² − 1)²e^(2x) = (x⁴ − 2x² + 1)e^(2x)

Áp dụng công thức ∫P(x)e^(ax)dx với a = 2 cho đa thức P(x) = x⁴ − 2x² + 1:

∫(x⁴ − 2x² + 1)e^(2x) dx = e^(2x)/32 · [16P(x) − 8P'(x) + 4P”(x) − 2P”'(x) + P””(x)] + C

Với:

• P(x) = x⁴ − 2x² + 1
• P'(x) = 4x³ − 4x
• P”(x) = 12x² − 4
• P”'(x) = 24x
• P””(x) = 24

Thay vào và rút gọn:

16(x⁴ − 2x² + 1) − 8(4x³ − 4x) + 4(12x² − 4) − 2(24x) + 24

= 16x⁴ − 32x³ + 16x² − 16x + 24

Vậy nguyên hàm là:

∫(x² − 1)²e^(2x) dx = e^(2x)(16x⁴ − 32x³ + 16x² − 16x + 24)/32 + C

Tính giá trị tại cận:

• Tại x = 2: e⁴(16·16 − 32·8 + 16·4 − 32 + 24)/32 = e⁴ · 56/32 = 7e⁴/4
• Tại x = 0: 1 · 24/32 = 3/4

Vậy:

V = π(7e⁴/4 − 3/4) = π(7e⁴ − 3)/4

Cách Giải Khác

Cách 1: Tích phân từng phần trực tiếp (không dùng công thức khép)

Với câu c, thay vì sử dụng công thức khép, ta có thể áp dụng tích phân từng phần hai lần liên tiếp.

Lần 1: Đặt u = x² − 1, dv = eˣdx → du = 2xdx, v = eˣ

∫(x² − 1)eˣdx = (x² − 1)eˣ − 2∫xeˣdx

Lần 2: Tính ∫xeˣdx. Đặt u = x, dv = eˣdx → du = dx, v = eˣ

∫xeˣdx = xeˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C

Kết hợp lại:

∫(x² − 1)eˣdx = (x² − 1)eˣ − 2(x − 1)eˣ = [(x² − 1) − 2(x − 1)]eˣ = (x − 1)²eˣ + C ✓

Ưu điểm: Phương pháp này phổ biến, quen thuộc với hầu hết học sinh.

Nhược điểm: Cần thực hiện nhiều bước, dễ mắc sai sót khi tính toán phức tạp (đặc biệt với phần thể tích e^(2x) ở câu e, cần tích phân từng phần 4 lần).

Cách 2: Đổi biến

Đặt t = x − 1, khi đó x² − 1 = (t + 1)² − 1 = t² + 2t và dx = dt.

∫(x² − 1)eˣ dx = ∫(t² + 2t)e^(t+1) dt = e·∫(t² + 2t)eᵗ dt

Sau đó áp dụng công thức khép cho ∫(t² + 2t)eᵗ dt = (t² − 2t + 2 + 2t − 2)eᵗ = t²eᵗ + C = (x−1)²e^(x−1)·e = (x−1)²eˣ + C

Ưu điểm: Giảm bậc đa thức, đơn giản hóa biểu thức trong một số trường hợp.

Nhược điểm: Không phải lúc nào cũng giúp đơn giản hóa; cần linh hoạt trong việc chọn phép đổi biến.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

1. Quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính diện tích:

Đây là lỗi nghiêm trọng nhất. Nhiều học sinh tính S = ∫₀² f(x) dx = e² − 1 và kết luận S = e² − 1. Tuy nhiên, tích phân tính “diện tích có dấu” — phần đồ thị nằm dưới trục Ox sẽ cho giá trị âm. Phải chia đoạn [0; 2] tại nghiệm x = 1 và lấy |∫₀¹| + ∫₁² = 1 + e².

2. Sai khi tính đạo hàm của tích hàm số:

Khi tính f'(x) = [(x² − 1)eˣ]’, học sinh thường quên nhân eˣ hoặc chỉ đạo hàm một phần. Cần nhớ: [u(x)·v(x)]’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Ở đây f'(x) = 2x·eˣ + (x² − 1)eˣ = (x² + 2x − 1)eˣ.

3. Nhầm lẫn khi dùng công thức nguyên hàm dạng ∫P(x)e^(ax)dx: