Chủ Đề 22: Quan Hệ Song Song Trong Không Gian
**Mục tiêu:** Nắm vững các khái niệm, điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. Hiểu và nhận biết được các khối đa diện cơ bản như hình lăng trụ, hình hộp. Vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán hình học không gian phẳng.
—
## I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
### 1. Vị Trí Tương Đối Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Có 3 trường hợp về vị trí tương đối:
– **$d$ và $(\alpha)$ không có điểm chung:** $d$ song song với $(\alpha)$, kí hiệu $d \parallel (\alpha)$.
– **$d$ và $(\alpha)$ có duy nhất 1 điểm chung:** $d$ cắt $(\alpha)$.
– **$d$ và $(\alpha)$ có từ 2 điểm chung trở lên:** $d$ nằm trong $(\alpha)$, kí hiệu $d \subset (\alpha)$.
### 2. Điều Kiện Để Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
> ⚠️ **Định lý:** Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d’$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ song song với $(\alpha)$.
$$
\begin{cases}
d \not\subset (\alpha) \\
d \parallel d’ \\
d’ \subset (\alpha)
\end{cases} \implies d \parallel (\alpha)
$$
### 3. Tính Chất
– Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$.
– Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
> 💡 **Phương pháp chứng minh $d \parallel (\alpha)$:** Tìm trong mặt phẳng $(\alpha)$ một đường thẳng $d’$ sao cho $d \parallel d’$. Sử dụng các tính chất hình học phẳng (đường trung bình, định lý Thales…) để chứng minh $d \parallel d’$.
### 4. Ví Dụ Mẫu (Đường Thẳng Vành Mặt Phẳng Song Song)
### ✅ Ví dụ 1
**Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hãy chỉ ra mặt phẳng chứa đáy $SCD$ mà đường thẳng $AB$ song song với nó.**
**Giải:**
Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$.
Mặt khác, $CD \subset (SCD)$ và $AB \not\subset (SCD)$.
Theo định lý điều kiện tạo sự song song, ta suy ra: $AB \parallel (SCD)$.
—
### ✅ Ví dụ 2
**Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh đường thẳng $A’B$ song song với mặt phẳng $(DCC’D’)$ và mặt phẳng $(D’B’C)$.**
**Giải:**
– **Tìm song song $(DCC’D’)$:** Trong hình hộp, các mặt đối diện song song. Vậy mặt bên $(ABB’A’) \parallel (DCC’D’)$. Đường thẳng $A’B$ nằm trong $(ABB’A’)$, do đó $A’B \parallel (DCC’D’)$. (Hoặc có thể chỉ ra $A’B \parallel D’C \subset (DCC’D’)$ do $A’BCD’$ là hình bình hành).
– **Tìm song song $(D’B’C)$:** Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác $A’BCD’$ là hình bình hành (do $A’D’ \parallel BC$ và $A’D’ = BC$). Suy ra $A’B \parallel D’C$. Mà $D’C \subset (D’B’C)$ nên $A’B \parallel (D’B’C)$.
—
### ✅ Ví dụ 3
**Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang lớn (với $AB \parallel CD$, $AB > CD$). Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Chứng minh rằng $MN \parallel (SCD)$.**
**Giải:**
Xét tam giác $SAB$ có $M, N$ là trung điểm của $SA, SB$. Suy ra $MN$ là đường trung bình của $\triangle SAB$.
Do đó, $MN \parallel AB$.
Mà đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$) nên $MN \parallel CD$.
Đường thẳng $CD$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$ nên ta suy ra: $MN \parallel (SCD)$.
—
### ✅ Ví dụ 4
**Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1, G_2$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $ABC$ và $ABD$. Chứng minh rằng $G_1G_2 \parallel (BCD)$.**
**Giải:**
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Do $G_1$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $G_1$ thuộc trung tuyến $CM$, và $G_2$ là trọng tâm $\triangle ABD$ nên $G_2$ thuộc trung tuyến $DM$.
Ta có tỉ lệ trọng tâm: $ \frac{MG_1}{MC} = \frac{MG_2}{MD} = \frac{1}{3} $.
Theo định lý Thales đảo trong $\triangle MCD$, suy ra $G_1G_2 \parallel CD$.
Mà $CD \subset (BCD)$ và $G_1G_2 \not\subset (BCD)$. Suy ra $G_1G_2 \parallel (BCD)$.
—
### ✅ Ví dụ 5
**Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Lấy điểm $P$ trên đoạn $BD$ sao cho $P$ không phải là trung điểm của $BD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$.**
**Giải:**
– Điểm $P$ là điểm chung thứ nhất của $(MNP)$ và $(ABD)$ (vì $P \in BD \subset (ABD)$).
– Ta có $MN \parallel AB$ (vì $M, N$ là trung điểm của $AC, BC$, $MN$ là đường trung bình $\triangle ABC$).
– $MN \subset (MNP)$ và $AB \subset (ABD)$.
Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABD)$ là một đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AB$ và $MN$. Cắt $AD$ tại $Q$. Khi đó $PQ \parallel AB$.
—
## II. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
### 1. Vị Trí Tương Đối Của Hai Mặt Phẳng
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
– Nếu $(P)$ và $(Q)$ không có điểm chung: $(P)$ song song với $(Q)$, kí hiệu $(P) \parallel (Q)$.
– Nếu $(P)$ và $(Q)$ có điểm chung: Chúng cắt nhau theo một giao tuyến.
– Nếu mọi điểm của $(P)$ đều thuộc $(Q)$: $(P)$ trùng với $(Q)$, kí hiệu $(P) \equiv (Q)$.
### 2. Điều Kiện Để Hai Mặt Phẳng Song Song
Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và $a, b$ cùng song song với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$.
### 3. Tính Chất Của Hai Mặt Phẳng Song Song
– Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có **một và chỉ một** mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
– Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng này cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau.
$$
\begin{cases}
(P) \parallel (Q) \\
(R) \cap (P) = a \\
(R) \cap (Q) = b
\end{cases} \implies a \parallel b
$$
– Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (Định lý Thales trong không gian).
Mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b song song nhau.
### 4. Ví Dụ Mẫu (Hai Mặt Phẳng Song Song)
### ✅ Ví dụ 6
**Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Hỏi mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nào trong không gian hình hộp?**
**Giải:**
Theo khái niệm hình hộp, hình hộp có 6 mặt là hình bình hành tạo thành 3 cặp mặt đối diện song song. Vậy mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng $(A’B’C’D’)$. Kí hiệu: $(ABCD) \parallel (A’B’C’D’)$.
—
### ✅ Ví dụ 7
**Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$. Chứng minh mặt phẳng $(MNPQ)$ song song với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.**
**Giải:**
Vì $M, N$ là trung điểm của $SA, SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ $\implies MN \parallel AB$.
Tương tự, $NP$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ $\implies NP \parallel BC$.
Mặt phẳng $(MNPQ)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $NP$.
Đồng thời $MN \parallel AB \subset (ABCD)$ suy ra $MN \parallel (ABCD)$.
$NP \parallel BC \subset (ABCD)$ suy ra $NP \parallel (ABCD)$.
Suy ra hai đường cắt nhau của $(MNP)$ cùng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ nên ta có: $(MNPQ) \parallel (ABCD)$.
—
### ✅ Ví dụ 8
**Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng mặt phẳng $(A’BD)$ song song với mặt phẳng $(CB’D’)$.**
**Giải:**
– Ta có tứ giác $BB’D’D$ là hình bình hành (vì có $BB’ \parallel DD’$ và $BB’ = DD’$), nên $BD \parallel B’D’$. Suy ra $BD \parallel (CB’D’)$.
– Tương tự, ta có tứ giác $A’B’CD$ là hình bình hành (vì có $A’B’ \parallel CD$ và $A’B’ = CD$), nên $A’D \parallel B’C$. Suy ra $A’D \parallel (CB’D’)$.
– Mặt phẳng $(A’BD)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau là $BD$ và $A’D$ cùng song song với mặt phẳng $(CB’D’)$.
Do đó: $(A’BD) \parallel (CB’D’)$.
—
### ✅ Ví dụ 9
**Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$. Hai đường thẳng $a, b$ cắt $(P)$ lần lượt tại $A, B$ và cắt $(Q)$ lần lượt tại $C, D$. Nếu $a \parallel b$ thì hãy so sánh độ dài $AC$ và $BD$.**
**Giải:**
Do $a \parallel b$ nên $a, b$ xác định một mặt phẳng $(R)$ chứa cả 2 đường thẳng đó.
Mặt phẳng $(R)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đoạn thẳng $AB$.
Mặt phẳng $(R)$ cắt $(Q)$ theo giao tuyến là đoạn thẳng $CD$.
Theo tính chất hai mặt phẳng song song cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì ranh giới hai giao tuyến song song nhau: $AB \parallel CD$.
Tứ giác $ABDC$ có $AB \parallel CD$ và $AC \parallel BD$ (đề bài cho $a \parallel b$). Nên tứ giác $ABDC$ là hình bình hành.
Suy ra: $AC = BD$. (Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai mặt phẳng song song thì bằng nhau).
—
### ✅ Ví dụ 10
**Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua các trung điểm $M, N$ của $AA’$ và $BB’$, đồng thời song song với $A’B’C’$. Chứng minh $(\alpha)$ cắt $CC’$ tại trung điểm của $CC’$.**
**Giải:**
Vì $(\alpha) \parallel (A’B’C’)$ và $(A’B’C’) \parallel (ABC)$ (tính chất lăng trụ), suy ra cả 3 mặt phẳng này song song với nhau.
Các cạnh bên $AA’, BB’, CC’$ là các đường thẳng song song với nhau bị cắt bởi 3 mặt phẳng song song.
Theo định lý Thales trong không gian (được áp dụng như nhau trên các cạnh song song):
Tỉ số: $\frac{A’M}{AA’} = \frac{B’N}{BB’} = \frac{C’P}{CC’}$ (với $P$ là giao điểm của $(\alpha)$ với $CC’$).
Do $M$ là trung điểm $AA’$ nên tỉ số bằng $\frac{1}{2}$.
Từ đó suy ra $P$ phải là trung điểm của $CC’$.
—
## III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP
**1. Hình lăng trụ:**
– Có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song.
– Các cạnh bên song song và bằng nhau.
– Các mặt bên là các hình bình hành.
**2. Hình hộp:**
– Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
– (Có 6 mặt đều là hình bình hành).
—
## IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
**Câu 1:** Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$?
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. Vô số.
**Câu 2:** Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Khẳng định nào sau đây là **sai**?
A. Không có bất kỳ điểm nào cung thuộc $a$ và $(P)$.
B. Trong $(P)$ có vô số đường thẳng song song với $a$.
C. Mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều song song với $a$.
D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $(P)$ (nếu mở rộng lên quan hệ vuông góc).
**Câu 3:** Hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau khi:
A. Mọi đường thẳng trong $(P)$ đều song song với $(Q)$.
B. Mặt phẳng $(P)$ chứa một đường thẳng song song với $(Q)$.
C. $(P)$ và $(Q)$ không cắt nhau.
D. Cả A và C đều đúng.
**Câu 4:** Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(ABA’)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $(CDD’)$.
B. $(CDC’)$.
C. $(BCC’)$.
D. $(ADD’)$.
**Câu 5:** Thiết diện của một mặt phẳng với một hình lăng trụ đứng tam giác KHÔNG THỂ là hình nào?
A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
**Câu 6:** Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng nào sau đây?
A. $SC$.
B. $SD$.
C. $CD$.
D. $AD$.
**Câu 7:** Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD \parallel BC$. Đường thẳng $AD$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(SAB)$.
B. $(SBC)$.
C. $(SCD)$.
D. $(SBD)$.
**Câu 8:** Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng $AA’$ song song với đường thẳng nào sau đây?
A. $AB$.
B. $B’C’$.
C. $CC’$.
D. $BD$.
**Câu 9:** Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(ACC’)$.
B. $(BCC’)$.
C. $(A’B’C’)$.
D. $(ABB’)$.
**Câu 10:** Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Đường thẳng $SA$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(SBD)$.
B. $(MBD)$.
C. $(SBC)$.
D. $(SCD)$.
**Câu 11:** Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(ABB’A’)$.
B. $(BCC’B’)$.
C. $(A’B’C’D’)$.
D. $(CDD’C’)$.
**Câu 12:** Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Đường thẳng $SO$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(SAB)$.
B. $(SBC)$.
C. Không song song với mặt phẳng bên nào của hình chóp.
D. $(SCD)$.
**Câu 13:** Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$. Đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng nào sau đây?
A. $A’D’$.
B. $B’C’$.
C. $C’D’$.
D. $DD’$.
**Câu 14:** Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng $AC$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(ABB’A’)$.
B. $(A’B’C’D’)$.
C. $(BDD’B’)$.
D. $(A’C’D)$.
**Câu 15:** Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Mặt phẳng $(SMN)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(SAB)$.
B. $(SAD)$.
C. $(SBC)$.
D. Không song song với mặt phẳng bên nào của hình chóp.
✅ Nhấn vào đây để xem Đáp án
**Câu 1:** **B**. Dựa vào tính chất: Qua một đường thẳng (a) cho trước và một đường thẳng (b) chéo với nó, có duy nhất một mặt phẳng chứa (a) và song song với (b).
**Câu 2:** **C**. Đường thẳng $a \parallel (P)$ thì trong $(P)$ có những đường thẳng song song với $a$, cũng có những đường thẳng chéo nhau với $a$. Do đó “Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với a” là sai.
**Câu 3:** **D**. Hai mặt phẳng song song nếu không có điểm chung. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
**Câu 4:** **B**. Mặt phẳng $(ABA’)$ chính là mặt phẳng mặt bên $(ABB’A’)$. Mặt phẳng đối diện song song với nó là $(CDD’C’)$, chính là $(CDC’)$.
**Câu 5:** **D**. Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt (2 đáy và 3 mặt bên). Một mặt phẳng cắt qua tối đa chỉ có thể cắt được 5 mặt của nó, nên thiết diện có số cạnh lớn nhất là 5 cạnh (ngũ giác). Không thể tạo ra lục giác.
**Câu 6:** **C**. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$.
**Câu 7:** **B**. Ta có $AD \parallel BC$ mà $BC \subset (SBC)$, $AD \not\subset (SBC)$ nên $AD \parallel (SBC)$.
**Câu 8:** **C**. Trong hình hộp, các cạnh bên song song và bằng nhau nên $AA’ \parallel CC’$.
**Câu 9:** **C**. Mặt đáy trên $(A’B’C’)$ song song với mặt đáy dưới $(ABC)$, mà $AB \subset (ABC)$ nên $AB \parallel (A’B’C’)$.
**Câu 10:** **B**. Gọi $O = AC \cap BD$. Trong $\triangle SAC$, $MO$ là đường trung bình nên $MO \parallel SA$. Mà $MO \subset (MBD)$ nên $SA \parallel (MBD)$.
**Câu 11:** **C**. Trong hình hộp, hai mặt đối diện song song nhau nên $(ABCD) \parallel (A’B’C’D’)$.
**Câu 12:** **C**. Đường thẳng $SO$ đi qua đỉnh $S$ và điểm $O$ nằm trong mặt phẳng đáy nên $SO$ cắt các mặt bên của hình chóp, không song song với mặt phẳng bên nào.
**Câu 13:** **C**. Trong lăng trụ, các mặt bên là hình bình hành, đáy trên song song đáy dưới. Vì $AB \parallel CD$ và $CD \parallel C’D’$ nên $AB \parallel C’D’$.
**Câu 14:** **D**. Trong hình hộp, $AC \parallel A’C’$. Mà $A’C’ \subset (A’C’D)$ nên $AC \parallel (A’C’D)$.
**Câu 15:** **D**. Mặt phẳng $(SMN)$ chứa đỉnh $S$ nên cắt tất cả các mặt bên của hình chóp tại các đường thẳng đi qua $S$, do đó không song song với mặt phẳng bên nào.
—
> 📖 **Xem tiếp:** [Chủ đề 23 – Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian](./chu-de-23-quan-he-vuong-goc.md)
> 🏠 [Về Trang Chủ](./index.md)
Để lại một bình luận