[ad_1]
Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa \({2024^{2\left( {{x^2} – y + 2} \right)}} – \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \ge 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = y – 2x.\)
A. \(2024\).
B. \(2025\).
C. \(\frac{1}{2}\).
D. \(1\).
Lời giải:
Từ giả thiết, ta suy ra \({2024^{2\left( {{x^2} – y + 2} \right)}} \ge \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – y + 2} \right) \ge {\log _{2024}}\frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,\,\,\left( 1 \right).\)
Đặt \(a = 4x + y + 2\) và \(b = {\left( {x + 2} \right)^2}\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(2\left( {b – a} \right) \ge {\log _{2024}}a – {\log _{2024}}b \Leftrightarrow {\log _{2024}}a + 2a \ge {\log _{2024}}b + 2b\,\,\,\left( 2 \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{2024}}t + 2t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2024}} + 2 > 0,\forall t > 0\)
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Khi đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) \ge f\left( b \right) \Leftrightarrow a \ge b \Leftrightarrow 4x + y + 2 \ge {\left( {x + 2} \right)^2} \Leftrightarrow y \ge {x^2} + 2.\)
Thay vào \(P,\) ta được \(P \ge {x^2} – 2x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 1 \ge 1.\)
Vậy \({P_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x = 1,y = 3.\).
===========
Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
[ad_2]
PBN WEB EDU MMO TD
