Cho hàm số f(x) bai viet bien mất

Phân tích Đề bài

Dữ kiện cho trước và điều kiện

Cho hàm số f(x) = (x² − 1)eˣ xác định trên tập số thực ℝ. Đồ thị hàm số được kí hiệu là (C). Chúng ta cần thực hiện các yêu cầu từ câu a đến câu e, bao gồm khảo sát hàm số, chứng minh nghiệm phương trình, tính tích phân, diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.

Yêu cầu của bài toán

• Câu a: Khảo sát sự biến thiên (tìm tập xác định, giới hạn, đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên) và vẽ đồ thị (C).
• Câu b: Chứng minh f(x) = 0 có đúng một nghiệm dương.
• Câu c: Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx bằng phương pháp tích phân từng phần.
• Câu d: Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi (C) và trục Ox trên [0; 2].
• Câu e: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Ox.

Các khái niệm liên quan

• Nguyên hàm của P(x)·eˣ: Công thức ∫P(x)eˣdx = [P(x) − P'(x) + P”(x) − …]eˣ + C, trong đó P(x) là đa thức.
• Diện tích hình phẳng: Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a; b], ta phải chia thành các đoạn con để lấy giá trị tuyệt đối.
• Thể tích khối tròn xoay quanh Ox: Công thức V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
• Đạo hàm tích: f'(x) = u’v + uv’ dùng để khảo sát sự biến thiên.

Phương pháp Giải

Cách tiếp cận và chiến lược

Đây là dạng bài tập tổng hợp về tích phân kết hợp với khảo sát hàm số. Chiến lược chính như sau:

• Với câu a: Tính đạo hàm f'(x) = (x² + 2x − 1)eˣ. Vì eˣ > 0 với mọi x, dấu của f'(x) phụ thuộc vào tam thức x² + 2x − 1. Giải phương trình x² + 2x − 1 = 0 ta được x = −1 ± √2. Trên miền khảo sát, nghiệm quan trọng là x₀ = √2 − 1 ≈ 0,414.
• Với câu b: f(x) = 0 ⇔ (x² − 1)eˣ = 0 ⇔ x² − 1 = 0 (vì eˣ > 0) ⇔ x = ±1. Vậy nghiệm dương duy nhất là x = 1.
• Với câu c: Áp dụng công thức nguyên hàm dạng ∫P(x)eˣdx.
• Với câu d và e: Phân tích dấu f(x) trên [0; 2] rồi tính diện tích (lấy giá trị tuyệt đối) và thể tích quay.

Tại sao dùng phương pháp này? Hàm số có dạng tích giữa đa thức và hàm mũ eˣ là dạng kinh điển để áp dụng tích phân từng phần hoặc công thức khép. Việc sử dụng công thức ∫P(x)eˣdx = [P(x) − P'(x) + P”(x) − …]eˣ giúp tiết kiệm thời gian đáng kể so với thực hiện tích phân từng phần liên tiếp.

Lời giải chi tiết từng bước

Câu a: Khảo sát và vẽ đồ thị

Tập xác định: D = ℝ.

Giới hạn: lim_x→−∞ f(x) = 0 (do eˣ → 0 nhanh hơn mọi đa thức); lim_x→+∞ f(x) = +∞.

Đạo hàm:

f'(x) = 2x·eˣ + (x² − 1)eˣ = (x² + 2x − 1)eˣ

f'(x) = 0 ⇔ x² + 2x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ± √2

Nghiệm x₁ = −1 − √2 ≈ −2,414 và x₂ = √2 − 1 ≈ 0,414.

Bảng biến thiên trên đoạn [0; 2]:

• Tại x = 0: f(0) = −1
• Tại x = √2 − 1: f(√2 − 1) = ((√2−1)² − 1)e^(√2−1) = (2 − 2√2)e^(√2−1) ≈ −0,926. Đây là cực tiểu.
• Tại x = 2: f(2) = 3e² ≈ 22,17

Hàm số nghịch biến trên (0; √2−1) và đồng biến trên (√2−1; +∞).

Câu b: Chứng minh f(x) = 0 có đúng một nghiệm dương

f(x) = (x² − 1)eˣ = 0 ⇔ x² − 1 = 0 (vì eˣ > 0 ∀x ∈ ℝ) ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

Trong hai nghiệm, chỉ có x = 1 là nghiệm dương duy nhất. Điều phải chứng minh.

Nhận xét quan trọng: Tại x = 1, đồ thị (C) cắt trục hoành và đổi dấu từ âm sang dương. Do f'(1) = 2e > 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ theo hướng đi lên.

Câu c: Tính tích phân I = ∫₀² f(x) dx

Ta cần tìm nguyên hàm của f(x) = (x² − 1)eˣ.

Áp dụng công thức: Nếu F(x) = [P(x) − P'(x) + P”(x) − …]eˣ thì F'(x) = P(x)eˣ.

Ở đây P(x) = x² − 1, P'(x) = 2x, P”(x) = 2, P”'(x) = 0.

Vậy nguyên hàm là:

F(x) = [(x² − 1) − 2x + 2]eˣ = (x² − 2x + 1)eˣ = (x − 1)²eˣ

Kiểm tra: F'(x) = 2(x−1)eˣ + (x−1)²eˣ = (x−1)(x+1)eˣ = (x²−1)eˣ = f(x). ✓

Tính tích phân:

I = F(2) − F(0) = (2−1)²e² − (0−1)²·e⁰ = e² − 1

Vậy I = e² − 1.

Câu d: Tính diện tích S

Trên đoạn [0; 2], hàm f(x) = (x² − 1)eˣ = (x−1)(x+1)eˣ.

Do eˣ > 0 và (x+1) > 0 trên [0; 2], nên dấu f(x) phụ thuộc vào (x − 1):

• Trên [0; 1): (x − 1) < 0 ⇒ f(x) < 0
• Tại x = 1: f(1) = 0
• Trên (1; 2]: (x − 1) > 0 ⇒ f(x) > 0

Diện tích hình phẳng H:

S = |∫₀¹ f(x) dx| + ∫₁² f(x) dx

Tính từng phần:

∫₀¹ f(x) dx = F(1) − F(0) = (1−1)²e¹ − (0−1)²·1 = 0 − 1 = −1

∫₁² f(x) dx = F(2) − F(1) = e² − 0 = e²

Vậy:

S = |−1| + e² = 1 + e²

Câu e: Tính thể tích V

Thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Ox được tính theo công thức:

V = π∫₀² [f(x)]² dx = π∫₀² (x² − 1)²e^(2x) dx

Mở rộng biểu thức dưới dấu tích phân:

(x² − 1)²e^(2x) = (x⁴ − 2x² + 1)e^(2x)

Áp dụng công thức ∫P(x)e^(ax)dx với a = 2 cho đa thức P(x) = x⁴ − 2x² + 1:

∫(x⁴ − 2x² + 1)e^(2x) dx = e^(2x)/32 · [16P(x) − 8P'(x) + 4P”(x) − 2P”'(x) + P””(x)] + C

Với:

• P(x) = x⁴ − 2x² + 1
• P'(x) = 4x³ − 4x
• P”(x) = 12x² − 4
• P”'(x) = 24x
• P””(x) = 24

Thay vào và rút gọn:

16(x⁴ − 2x² + 1) − 8(4x³ − 4x) + 4(12x² − 4) − 2(24x) + 24

= 16x⁴ − 32x³ + 16x² − 16x + 24

Vậy nguyên hàm là:

∫(x² − 1)²e^(2x) dx = e^(2x)(16x⁴ − 32x³ + 16x² − 16x + 24)/32 + C

Tính giá trị tại cận:

• Tại x = 2: e⁴(16·16 − 32·8 + 16·4 − 32 + 24)/32 = e⁴ · 56/32 = 7e⁴/4
• Tại x = 0: 1 · 24/32 = 3/4