Giải SGK Toán 12 (CTST) Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Sách Chân trời sáng tạo – Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Hoạt động khởi động trang 75 Toán 12 Tập 1: Có thể tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên không?

Lời giải:

Sau bài học này, ta có thể tính được phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên như sau:

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Chiều cao (cm)	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 176)	[176; 180)
Số học sinh	3	5	8	4	1

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Chiều cao đại diện (cm)	162	166	170	174	178
Tần số	3	5	8	4	1

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

= $\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx 4,26$ .

Hoạt động khám phá trang 75 Toán 12 Tập 1: a) Trong biểu đồ ở Hoạt động khởi động, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 160 cm đến dưới 164 cm; cột thứ hai biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 164 cm đến dưới 168 cm, …

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở Hoạt động khởi động, xác định giá trị đại điện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Xét mẫu số liệu mới gồm các giá trị đại diện của các nhóm, tần số của mỗi giá trị đại diện bằng tần số của nhóm tương ứng. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới.

Lời giải:

a) Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm và tính được giá trị đại diện của mỗi nhóm như sau:

Chiều cao (cm)	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 176)	[176; 180)
Số học sinh	3	5	8	4	1
Giá trị đại diện	162	166	170	174	178

Số học sinh nữ lớp 12 tham gia khảo sát là n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

b) Ta có bảng thống kê mẫu số liệu mới:

Giá trị đại diện	162	166	170	174	178
Số học sinh	3	5	8	4	1

Cỡ mẫu n = 21.

Giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{3550}{21}$ .

Phương sai của mẫu số liệu mới là:

= $\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx 4,26$ .

Thực hành 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở Hoạt động khởi động (trang 75).

Lời giải:

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Chiều cao (cm)	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 176)	[176; 180)
Số học sinh	3	5	8	4	1

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Chiều cao đại diện (cm)	162	166	170	174	178
Tần số	3	5	8	4	1

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

= $\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx 4,26$ .

Thực hành 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Số bước (đơn vị: nghìn)	[3; 5)	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)
Số ngày của Mai	6	7	6	6	5
Số ngày của Ngọc	2	5	13	8	2

a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Số bước (đơn vị: nghìn)	[3; 5)	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)
Số bước đại diện	4	6	8	10	12
Số ngày của Mai	6	7	6	6	5
Số ngày của Ngọc	2	5	13	8	2

• Xét mẫu số liệu của Mai:

Cỡ mẫu là n_M = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_M=\frac{6\cdot 4+7\cdot 6+6\cdot 8+6\cdot 10+5\cdot 12}{30}=7,8$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_M^2=\frac{1}{30}$(6 ∙ 4² + 7 ∙ 6² + 6 ∙ 8² + 6 ∙ 10² + 5 ∙ 12²) – (7,8)² = 7,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_M=\sqrt{S_M^2}=\sqrt{7,56}=\frac{3\sqrt{21}}{5}\approx 2,75$.

• Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Cỡ mẫu là n_N = 2 + 5 + 13 + 8 + 2 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_N=\frac{2\cdot 4+5\cdot 6+13\cdot 8+8\cdot 10+2\cdot 12}{30}=8,2$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2=\frac{1}{30}$(2 ∙ 4² + 5 ∙ 6² + 13 ∙ 8² + 8 ∙ 10² + 2 ∙ 12²) – (8,2)² ≈ 3,83.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N=\sqrt{S_N^2}\approx \sqrt{3,83}\approx 1,96$.

b) Ta thấy S_N ≈ 1,96 < S_M ≈ 2,75.

Do đó, nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

Bài tập

Bài 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Tần số	13	45	24	12	6

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Ta có bảng sau:

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Giá trị đại diện	19,25	19,75	20,25	20,75	21,25
Tần số	13	45	24	12	6

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=20,015$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{100}$[13 ∙ (19,25)² + 45 ∙ (19,75)² + 24 ∙ (20,25)²

+ 12 ∙ (20,75)² + 6 ∙ (21,25)²] – (20,015)² ≈ 0,277.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{0,277}\approx 0,526$.

Bài 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.

a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?

b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.

Lời giải:

a) Từ biểu đồ ta thấy có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Thời gian (giờ)	[7,2; 7,4)	[7,4; 7,6)	[7,6; 7,8)	[7,8; 8,0)
Giá trị đại diện	7,3	7,5	7,7	7,9
Số máy vi tính	2	4	7	5

Cỡ mẫu là n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{2\cdot 7,3+4\cdot 7,5+7\cdot 7,7+5\cdot 7,9}{18}\approx 7,667$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{18}$[2 ∙ (7,3)² + 4 ∙ (7,5)² + 7 ∙ (7,7)² + 5 ∙ (7,9)²] – (7,667)² ≈ 0,032.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{0,032}\approx 0,179$.

Bài 3 trang 83 Toán 12 Tập 1: Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải:

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

Do đó, $Q_1=\frac{46,7+46,8}{2}=46,75$ .

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

Do đó, $Q_3=\frac{54,8+55,6}{2}=55,2$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{42+43,4+43,4+46,5+\mathrm{\dots }+60,3+61,1}{20}=50,945$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{20}$ [42² + (43,4)² + (43,4)² + … + (60,3)² + (61,1)²] – (50,945)² ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{32,2}\approx 5,675$.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Số xe	3	7	4	3	3

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R’ =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54),

   x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{‘}}_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\cdot \left(50-46\right)=\frac{330}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{‘}}_3=54+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7+4\right)}{3}\cdot \left(58-54\right)=\frac{166}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆’_Q = Q’₃ – Q’₁ = $\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}$ ≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Giá trị đại diện	44	48	52	56	60
Số xe	3	7	4	3	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}^{‘}=\frac{3\cdot 44+7\cdot 48+4\cdot 52+3\cdot 56+3\cdot 60}{20}=51,2$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S’² = $\frac{1}{20}$ (3 ∙ 44² + 7 ∙ 48² + 4 ∙ 52² + 3 ∙ 56² + 3 ∙ 60²) – (51,2)² = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{‘}=\sqrt{{S^{‘}}^2}=\sqrt{26,56}=\frac{2\sqrt{166}}{5}\approx 5,154$.

Bài 4 trang 83 Toán 12 Tập 1: Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:

Đường kính (cm)	[30; 32)	[32; 34)	[34; 36)	[36; 38)	[38; 40)
Số cây trồng ở địa điểm A	25	38	20	10	7
Số cây trồng ở địa điểm B	22	27	19	18	14

a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Đường kính (cm)	[30; 32)	[32; 34)	[34; 36)	[36; 38)	[38; 40)
Giá trị đại diện	31	33	35	37	39
Số cây trồng ở địa điểm A	25	38	20	10	7
Số cây trồng ở địa điểm B	22	27	19	18	14

Cỡ mẫu: n_A = 25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100; n_B = 22 + 27 + 19 + 18 + 14 = 100.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

${\overline{x}}_A=\frac{25\cdot 31+38\cdot 33+20\cdot 35+10\cdot 37+7\cdot 39}{100}=33,72$.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

${\overline{x}}_B=\frac{22\cdot 31+27\cdot 33+19\cdot 35+18\cdot 37+14\cdot 39}{100}=34,5$.

Vì ${\overline{x}}_A=33,72<{\overline{x}}_B=34,5$ nên đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.

b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$S_A^2=\frac{1}{100}$(25 ∙ 31² + 38 ∙ 33² + 20 ∙ 35² + 10 ∙ 37² + 7 ∙ 39²) – (33,72)² ≈ 5,402.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$S_A=\sqrt{S_A^2}\approx \sqrt{5,402}\approx 2,324$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

$S_B^2=\frac{1}{100}$(22 ∙ 31² + 27 ∙ 33² + 19 ∙ 35² + 18 ∙ 37² + 14 ∙ 39²) – (34,5)² = 7,31.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

$S_B=\sqrt{S_B^2}=\sqrt{7,31}=\frac{\sqrt{731}}{10}\approx 2,704$.

Vì S_A ≈ 2,324 < S_B ≈ 2,704 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.