Giải SGK Toán 12 (CTST) Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Sách Chân trời sáng tạo – Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Hoạt động khám phá 1 trang 14 Toán 12 Tập 1: Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là ${28}^{\circ }C$.

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là ${40}^{\circ }C$.

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là ${34}^{\circ }C$.

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là ${34}^{\circ }C$

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (${34}^{\circ }C$) là lúc 16 giờ

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là ${20}^{\circ }C$

Thực hành 1 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$ trên đoạn [0;3]                      

b) $g(x)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

c) $h(x)=x\sqrt{2-x^2}$

Lời giải:

a) Xét $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$ trên đoạn [0;3]

$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=1\end{array}$

 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0;3]}{min}f(x)=f(0)=1$ và $\underset{[0;3]}{max}f(x)=f(3)=10$

b) Xét $g(x)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1(loai)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{(0;5)}{min}f(x)=f(1)=2$ và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)

c) Xét $h(x)=x\sqrt{2-x^2}$

Tập xác định: $D=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$h^{\prime }(x)=\sqrt{2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}$

Tập xác định mới: $D_1=(-\sqrt{2};\sqrt{2})$

$h^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{min}f(x)=f(-1)=-1$ và $\underset{D}{max}f(x)=f(1)=1$

Vận dụng trang 16 Toán 12 Tập 1: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t $\ge$ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

$y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Lời giải:

Xét $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$ trên nửa đoạn $[0;+\mathrm{\infty })$

$y^{\prime }(t)=\frac{135t^2-15}{{(9t^2+1)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=-\frac{1}{3}(loai)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}y(t)=y(\frac{1}{3})=-\frac{5}{2}$ và $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{max}y(t)=y(0)=5$

Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = $\frac{1}{3}$ giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Hoạt động khám phá 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2$; $g(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}^{2}neux\le 2\\ -4x+10neux\ge 2\end{array}$ và $h(x)=3-\frac{1}{2}{x}^2$ trên đoạn [-1;3]

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Lời giải:

a) $h(x)$đạt giá trị cực đại tại x = 0 và $\underset{[-1;3]}{maxh(x)}=h(0)=3$

b) $\underset{[-1;3]}{maxf(x)}=f(3)=\frac{9}{2}$ và $\underset{[-1;3]}{maxg(x)}=g(2)=2$

Thực hành 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=x+\frac{4}{x^2}$ trên đoạn [1;4]

Lời giải:

Xét $g(x)=x+\frac{4}{x^2}$ trên đoạn [1;4]

$g^{\prime }(x)=1-\frac{8}{x^3}=0\iff x=2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[1;4]}{min}g(x)=g(2)=3$ và $\underset{[1;4]}{max}g(x)=g(1)=5$

Thực hành 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là $\sqrt{5-x^2}$

Diện tích tam giác vuông là: $f(x)=x\sqrt{5-x^2}$

Tập xác định: $D=(0;\sqrt{5}]$

$f^{\prime }(x)=\sqrt{5-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{5-x^2}}$

Tập xác định mới: $D_1=(0;\sqrt{5})$

$f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ x=-\frac{\sqrt{10}}{2}(loai)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{max}f(x)=f(\frac{\sqrt{10}}{2})=\frac{5}{2}$

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là $\frac{5}{2}$

Bài tập

Bài 1 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Lời giải:

a)  Từ đồ thị, ta thấy $\underset{[1;6]}{max}f(x)=f(1)=6$ và $\underset{[1;6]}{min}f(x)=f(5)=1$

b) Từ đồ thị, ta thấy $\underset{[-3;3]}{max}g(x)=g(-3)=g(-1)=1$ và $\underset{[-3;3]}{min}g(x)=g(1)=7$

Bài 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y=x^3-12x+1$ trên đoạn [-1;3]
b) $y=-x^3+24x^2-180x+400$ trên đoạn [3;11]
c) $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn [3;7]
d) $y=\sin 2x$ trên đoạn $[0;\frac{7\pi }{12}]$

Lời giải:

a) Xét $y=x^3-12x+1$ trên đoạn [-1;3]

$y^{\prime }=3x^2-12=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=-2(loai)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[-1;3]}{max}y=y(-1)=12$ và $\underset{[-1;3]}{min}y=y(2)=-15$

b) Xét $y=-x^3+24x^2-180x+400$ trên đoạn [3;11]

$y^{\prime }=-3x^2+48x-180=0\iff [\begin{array}{l}x=10\\ x=6\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[3;11]}{max}y=y(3)=49$ và $\underset{[3;11]}{min}y=y(6)=-32$

c) Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn [3;7]

$y^{\prime }=\frac{-5}{{(x-2)}^2}<0\mathrm{\forall }x\in [3;7]$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[3;7]}{max}y=y(3)=7$ và $\underset{[3;7]}{min}y=y(7)=3$

d) Xét $y=\sin 2x$ trên đoạn $[0;\frac{7\pi }{12}]$

$y^{\prime }=2\cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: $x\in [0;\frac{7\pi }{12}]\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0;\frac{7\pi }{12}]}{max}y=y(\frac{\pi }{4})=1$ và $\underset{[0;\frac{7\pi }{12}]}{min}y=y(\frac{7\pi }{12})=-\frac{1}{2}$

Bài 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y=x^3-3x-4$ trên nửa khoảng [-3;2)
b) $y=\frac{3x^2-4x}{x^2-1}$ trên khoảng $(-1;+\mathrm{\infty })$

Lời giải:

a) Xét $y=x^3-3x-4$ trên nửa khoảng [-3;2)

$y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[-3;2)}{min}y=y(-3)=-22$

b) Xét $y=\frac{3x^2-4x}{x^2-1}$ trên khoảng $(-1;+\mathrm{\infty })$

Tập xác định: $D=(-1;+\mathrm{\infty })\mathrm{\setminus }\{1\}$

$y^{\prime }=\frac{4x^2-6x+4}{{(x^2-1)}^2}>0\mathrm{\forall }x\in D$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-1;+\mathrm{\infty })$

Bài 4 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Lời giải:

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sổ (m; a,b > 0)

Chu vi cửa sổ là: $2(a+b)=4\iff b=2-a$

Diện tích cửa sổ là: $y=ab=a(2-a)=-a^2+2a$

$y^{\prime }=-2a+2=0\iff a=1$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{(0;+\mathrm{\infty })}{max}y=y(1)=1$

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng $1m^2$ thì chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng 1m

Bài 5 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\sqrt{1-x^2}+x^2$

Lời giải:

Tập xác định: $D=[-1;1]$

$y^{\prime }=\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x=0\iff x=0$

Tập xác định mới: $D_1=(-1;1)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{max}y=y(0)=2$ và $\underset{D}{min}y=y(-1)=y(1)=1$

Bài 6 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khối lượng $q$ (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng/kg) theo công thức $p=15-\frac{1}{2}q$. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức $R=pq$.

a) Viết công thức biểu diễn $R$ theo $p$.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Lời giải:

a) Ta có: $p=15-\frac{1}{2}q\iff q=2(15-p)$

Thay vào $R=pq$ ta được: $R=p.2(15-p)=-2p^2+30p$

b) Đặt $y=-2p^2+30p$

Tập xác định: $D=(0;+\mathrm{\infty })$

$y^{\prime }=-4p+30=0\iff p=7,5$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{max}y=y(7,5)=112,5$

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng

Bài 7 trang 18 Toán 12 Tập 1: Hộp sữa $1l$ được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi chiều cao của hộp là h (cm)

Thể tích của hộp là: $V=h.x^2=1\iff h=\frac{1}{x^2}$

Diện tích toàn phần của hộp là: $y=S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=4hx+2x^2=4.\frac{1}{x^2}.x+2x^2=2x^2+\frac{4}{x}$

Tập xác định: $D=(0;+\mathrm{\infty })$

$y^{\prime }=4x-\frac{4}{x^2}=0\iff x=1$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{min}y=y(1)=6$

Vậy x = 1cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 $c{m}^2$